Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về xác suất. Bài toán này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cách tính xác suất của các biến cố.

Đề bài cho chúng ta như sau: Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư và 4 chiếc phong bì thư đã để sẵn địa chỉ. Hỏi xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ là bao nhiêu?

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua các bước sau:

Bước 1: Xác định không gian mẫu

Khi người đó bỏ 4 lá thư vào 4 chiếc phong bì, mỗi lá thư có thể được bỏ vào bất kỳ chiếc phong bì nào.
Chúng ta coi như có 4 lá thư là L1, L2, L3, L4 và 4 chiếc phong bì là P1, P2, P3, P4, trong đó địa chỉ trên phong bì P1 tương ứng với lá thư L1, P2 với L2, v.v.

Việc bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 phong bì tương đương với việc sắp xếp 4 lá thư vào 4 vị trí (các phong bì). Số cách sắp xếp này chính là số hoán vị của 4 phần tử.

Số phần tử của không gian mẫu, ký hiệu là |Ω|, sẽ là:
|Ω| = 4!

Chúng ta tính giá trị của 4!:
4! = 4 3 2 * 1 = 24

Vậy, có 24 cách để bỏ 4 lá thư vào 4 chiếc phong bì.

Bước 2: Xác định biến cố cần tính xác suất

Đề bài yêu cầu tính xác suất để “có ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ”.
Biến cố này hơi phức tạp để tính trực tiếp, vì chúng ta phải xét các trường hợp: chỉ có 1 lá đúng, có 2 lá đúng, có 3 lá đúng, hoặc cả 4 lá đều đúng.

Trong xác suất, khi gặp cụm từ “ít nhất”, chúng ta thường nghĩ đến việc sử dụng biến cố đối. Biến cố đối của “ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ” là “không có lá thư nào bỏ đúng địa chỉ”.

Gọi A là biến cố “có ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ”.
Gọi A’ là biến cố “không có lá thư nào bỏ đúng địa chỉ”.

Khi đó, xác suất của biến cố A là:
P(A) = 1 – P(A’)

Bây giờ, nhiệm vụ của chúng ta là đi tính xác suất của biến cố A’ (xác suất để không có lá thư nào bỏ đúng địa chỉ).

Bước 3: Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố “không có lá thư nào bỏ đúng địa chỉ”

Đây là một bài toán đếm số cách sắp xếp sao cho không có phần tử nào ở đúng vị trí ban đầu của nó. Trong toán học, bài toán này được gọi là bài toán “lệch vị” (derangement).

Đối với n phần tử, số cách sắp xếp sao cho không có phần tử nào đúng vị trí ban đầu được ký hiệu là !n hoặc Dn.
Công thức tính số cách lệch vị là:
!n = n! * (1/0! – 1/1! + 1/2! – 1/3! + … + (-1)^n / n!)

Trong trường hợp của chúng ta, có 4 lá thư, nên n = 4.
Chúng ta sẽ tính !4:
!4 = 4! * (1/0! – 1/1! + 1/2! – 1/3! + 1/4!)

Chúng ta đã biết 4! = 24.
Bây giờ, chúng ta tính các giá trị trong ngoặc:
1/0! = 1/1 = 1
1/1! = 1/1 = 1
1/2! = 1/2
1/3! = 1/6
1/4! = 1/24

Thay vào công thức:
!4 = 24 * (1 – 1 + 1/2 – 1/6 + 1/24)
!4 = 24 * (0 + 1/2 – 1/6 + 1/24)

Để cộng các phân số, chúng ta quy đồng mẫu số là 24:
1/2 = 12/24
1/6 = 4/24

!4 = 24 * (12/24 – 4/24 + 1/24)
!4 = 24 * ((12 – 4 + 1) / 24)
!4 = 24 * (9/24)

Rút gọn:
!4 = 9

Vậy, có 9 cách để bỏ 4 lá thư vào 4 phong bì sao cho không có lá thư nào bỏ đúng địa chỉ.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A’ là 9.

Bước 4: Tính xác suất của biến cố đối A’

Xác suất của biến cố A’ được tính bằng công thức:
P(A’) = (Số kết quả thuận lợi cho A’) / (Tổng số kết quả có thể xảy ra trong không gian mẫu)

P(A’) = !4 / |Ω|
P(A’) = 9 / 24

Chúng ta rút gọn phân số này:
P(A’) = 3 / 8

Bước 5: Tính xác suất của biến cố A

Bây giờ, chúng ta sử dụng mối quan hệ giữa biến cố A và biến cố đối A’:
P(A) = 1 – P(A’)
P(A) = 1 – (3/8)

Để thực hiện phép trừ này, chúng ta quy đồng mẫu số:
1 = 8/8

P(A) = 8/8 – 3/8
P(A) = (8 – 3) / 8
P(A) = 5/8

Vậy, xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ là 5/8.

Tổng kết lại các bước:
1. Xác định không gian mẫu: có 4! = 24 cách bỏ thư.
2. Xác định biến cố cần tìm và biến cố đối. Biến cố A là “có ít nhất một lá thư đúng”, biến cố A’ là “không có lá thư nào đúng”. Ta tính P(A) = 1 – P(A’).
3. Tính số trường hợp “không có lá thư nào đúng” (lệch vị): !4 = 9 cách.
4. Tính xác suất của biến cố đối: P(A’) = 9/24 = 3/8.
5. Tính xác suất của biến cố cần tìm: P(A) = 1 – 3/8 = 5/8.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Đây là một ví dụ điển hình cho việc áp dụng biến cố đối và công thức tính số cách lệch vị trong bài toán xác suất.

Các em có câu hỏi nào không?