Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về tổ hợp. Bài toán này yêu cầu chúng ta tính số cách chọn 4 chiếc giày từ 10 đôi khác nhau, sao cho trong 4 chiếc giày được chọn có ít nhất 1 đôi.

Để giải bài toán này một cách nhanh chóng và chính xác, thầy sẽ hướng dẫn các em theo từng bước nhé.

Bước 1: Phân tích bài toán và xác định tổng số cách chọn giày.

Chúng ta có 10 đôi giày, mỗi đôi gồm 2 chiếc (một chiếc bên trái và một chiếc bên phải). Như vậy, tổng cộng chúng ta có \(10 \times 2 = 20\) chiếc giày.

Bài toán yêu cầu chọn ra 4 chiếc giày. Nếu không có điều kiện gì thêm, tổng số cách chọn 4 chiếc giày từ 20 chiếc là:

Số cách chọn 4 chiếc giày từ 20 chiếc là tổ hợp chập 4 của 20.

Công thức tính tổ hợp chập k của n là: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Áp dụng vào bài toán:

\[ \text{Tổng số cách chọn 4 chiếc giày} = C_{20}^4 \]

Chúng ta có:

\[ C_{20}^4 = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20!}{4!16!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845 \]

Vậy, có 4845 cách chọn 4 chiếc giày bất kỳ.

Bước 2: Xác định số cách chọn 4 chiếc giày KHÔNG có đôi nào.

“Có ít nhất 1 đôi” là điều kiện ngược lại với “không có đôi nào”. Do đó, chúng ta sẽ tính số cách chọn 4 chiếc giày mà không có đôi nào, rồi lấy tổng số cách trừ đi số cách này.

Để 4 chiếc giày được chọn không có đôi nào, có nghĩa là chúng ta phải chọn 4 chiếc giày sao cho không có 2 chiếc nào cùng thuộc một đôi.

Để làm điều này, chúng ta có thể thực hiện theo các bước nhỏ sau:
a) Chọn 4 đôi giày trong số 10 đôi.
b) Từ mỗi đôi đã chọn, chọn lấy 1 chiếc giày.

a) Chọn 4 đôi giày từ 10 đôi:

Số cách chọn 4 đôi giày từ 10 đôi là tổ hợp chập 4 của 10.

Công thức:

\[ \text{Số cách chọn 4 đôi giày} = C_{10}^4 \]

Chúng ta có:

\[ C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

Vậy, có 210 cách chọn 4 đôi giày.

b) Từ mỗi đôi đã chọn, chọn lấy 1 chiếc giày:

Khi chúng ta đã chọn được 4 đôi giày, ví dụ là đôi A, đôi B, đôi C, đôi D. Mỗi đôi có 2 chiếc (trái và phải).

Từ đôi A, ta có 2 lựa chọn (chiếc trái hoặc chiếc phải).

Từ đôi B, ta có 2 lựa chọn.

Từ đôi C, ta có 2 lựa chọn.

Từ đôi D, ta có 2 lựa chọn.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn 1 chiếc giày từ mỗi đôi đã chọn là:

\[ 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16 \]

Kết hợp cả hai bước a) và b), số cách chọn 4 chiếc giày mà không có đôi nào là:

Số cách chọn 4 chiếc giày không có đôi nào = (Số cách chọn 4 đôi giày) x (Số cách chọn 1 chiếc từ mỗi đôi đã chọn)

\[ \text{Số cách chọn 4 chiếc giày không có đôi nào} = C_{10}^4 \times 2^4 = 210 \times 16 = 3360 \]

Bước 3: Tính số cách chọn 4 chiếc giày có ít nhất 1 đôi.

Như thầy đã nói ở Bước 2, chúng ta sử dụng nguyên lý bù trừ.

Số cách chọn 4 chiếc giày có ít nhất 1 đôi = (Tổng số cách chọn 4 chiếc giày) – (Số cách chọn 4 chiếc giày không có đôi nào)

\[ \text{Số cách chọn 4 chiếc giày có ít nhất 1 đôi} = C_{20}^4 – (C_{10}^4 \times 2^4) \]
\[ \text{Số cách chọn 4 chiếc giày có ít nhất 1 đôi} = 4845 – 3360 = 1485 \]

Vậy, có 1485 cách để chọn 4 chiếc giày sao cho có ít nhất 1 đôi.

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững hơn về tổ hợp nhé!