Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về tổ hợp. Bài toán này yêu cầu chúng ta đếm số cách lập một tổ công tác với những điều kiện nhất định. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước một nhé.

Đề bài cho chúng ta một nhóm công nhân có tổng cộng:
– Số nam: 15 người
– Số nữ: 5 người
– Tổng số người: 15 + 5 = 20 người

Chúng ta cần chọn ra 5 người để lập một tổ công tác thỏa mãn các điều kiện sau:
1. Phải có 1 tổ trưởng nam.
2. Phải có 1 tổ phó nam.
3. Phải có ít nhất 1 nữ.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đếm và nguyên lý bù trừ.

Bước 1: Chọn tổ trưởng nam và tổ phó nam

Trước hết, chúng ta cần chọn ra 2 người nam để làm tổ trưởng và tổ phó.
– Có 15 nam, vậy số cách chọn tổ trưởng nam là 15 cách.
– Sau khi đã chọn tổ trưởng nam, còn lại 14 nam. Vậy số cách chọn tổ phó nam là 14 cách.

Số cách chọn tổ trưởng nam và tổ phó nam là:
15 * 14 = 210 cách.

Hoặc chúng ta có thể hiểu đây là chọn 2 nam từ 15 nam và sắp xếp vị trí (tổ trưởng, tổ phó). Đây chính là chỉnh hợp chập 2 của 15 phần tử.
Số cách chọn tổ trưởng và tổ phó nam là:
\[ P(15, 2) = \frac{15!}{(15-2)!} = \frac{15!}{13!} = 15 \times 14 = 210 \]

Bước 2: Chọn 3 người còn lại cho tổ công tác

Sau khi đã chọn xong tổ trưởng và tổ phó nam, chúng ta còn lại 3 vị trí trong tổ công tác cần được lấp đầy.
Tổng số người còn lại trong nhóm công nhân là: 20 – 2 = 18 người.
Trong đó, số nam còn lại là: 15 – 2 = 13 người.
Số nữ còn lại vẫn là: 5 người.

Bây giờ, chúng ta cần chọn 3 người từ 18 người còn lại để điền vào 3 vị trí còn lại. Tuy nhiên, chúng ta phải đảm bảo điều kiện “có ít nhất 1 nữ”.

Để làm điều này một cách dễ dàng, chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý bù trừ. Nghĩa là, chúng ta sẽ tính tổng số cách chọn 3 người bất kỳ từ 18 người còn lại, rồi trừ đi số cách chọn 3 người mà KHÔNG có nữ (tức là toàn nam).

Bước 2a: Tính tổng số cách chọn 3 người bất kỳ từ 18 người còn lại.

Số cách chọn 3 người từ 18 người (chúng ta không quan tâm đến vị trí ở bước này, chỉ là chọn nhóm) là tổ hợp chập 3 của 18 phần tử.
\[ C(18, 3) = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18!}{3!15!} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 17 \times 16 = 816 \]
Vậy có 816 cách chọn 3 người bất kỳ từ 18 người còn lại.

Bước 2b: Tính số cách chọn 3 người mà KHÔNG có nữ (tức là toàn nam).

Nếu chọn 3 người mà không có nữ, thì cả 3 người này đều phải là nam.
Số nam còn lại sau khi đã chọn tổ trưởng và tổ phó là 13 người.
Số cách chọn 3 nam từ 13 nam là tổ hợp chập 3 của 13 phần tử.
\[ C(13, 3) = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13!}{3!10!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286 \]
Vậy có 286 cách chọn 3 người toàn nam.

Bước 2c: Tính số cách chọn 3 người còn lại sao cho có ít nhất 1 nữ.

Số cách chọn 3 người còn lại có ít nhất 1 nữ sẽ bằng tổng số cách chọn 3 người bất kỳ trừ đi số cách chọn 3 người toàn nam.
Số cách chọn 3 người còn lại (có ít nhất 1 nữ) = 816 – 286 = 530 cách.

Bước 3: Kết hợp các bước để tìm tổng số cách lập tổ công tác.

Để tìm tổng số cách lập tổ công tác thỏa mãn tất cả các điều kiện, chúng ta nhân số cách đã thực hiện ở Bước 1 với số cách đã thực hiện ở Bước 2c.

Tổng số cách lập tổ công tác = (Số cách chọn tổ trưởng và tổ phó nam) * (Số cách chọn 3 người còn lại có ít nhất 1 nữ)
Tổng số cách lập tổ công tác = 210 * 530

Thực hiện phép nhân:
210 * 530 = 111300

Vậy, có 111.300 cách để lập tổ công tác theo yêu cầu đề bài.

Tóm tắt lại các bước
1. Chọn tổ trưởng nam: 15 cách.
2. Chọn tổ phó nam: 14 cách.
3. Chọn 3 người còn lại sao cho có ít nhất 1 nữ:
– Tổng số cách chọn 3 người từ 18 người còn lại: \( C(18, 3) = 816 \) cách.
– Số cách chọn 3 người toàn nam từ 13 nam còn lại: \( C(13, 3) = 286 \) cách.
– Số cách chọn 3 người có ít nhất 1 nữ = \( 816 – 286 = 530 \) cách.
4. Nhân số cách ở bước 1, 2 và 3: \( 15 \times 14 \times 530 = 111300 \) cách.

Các em đã thấy cách chúng ta phân tích bài toán theo từng bước và sử dụng các công thức tổ hợp chưa nào? Nếu có thắc mắc, hãy hỏi ngay nhé.