Chào các em học sinh thân mến của cô! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán chuyển động khá thú vị, nằm trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta. Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép cẩn thận nhé.

Bài toán cho biết:
Một ô tô đi từ A đến B.
Cùng lúc đó, một ô tô thứ hai đi từ B đến A.
Vận tốc ô tô thứ hai bằng 2/3 vận tốc ô tô thứ nhất.
Sau 5 giờ, hai xe gặp nhau.

Yêu cầu: Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đường AB trong bao lâu?

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một, áp dụng những kiến thức đã học.

Bước 1: Đặt ẩn và xác định các đại lượng đã biết, chưa biết.

Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là \(v_1\) (km/h).
Gọi vận tốc của ô tô thứ hai là \(v_2\) (km/h).
Quãng đường AB là \(S_{AB}\) (km).
Thời gian hai xe gặp nhau là 5 giờ.

Theo đề bài, ta có:
\(v_2 = \frac{2}{3} v_1\)

Bước 2: Biểu diễn quãng đường mỗi xe đi được cho đến lúc gặp nhau.

Hai xe khởi hành cùng lúc và gặp nhau sau 5 giờ.
Quãng đường ô tô thứ nhất đi được trong 5 giờ là: \(S_1 = v_1 \times 5\) (km).
Quãng đường ô tô thứ hai đi được trong 5 giờ là: \(S_2 = v_2 \times 5\) (km).

Bước 3: Vận dụng mối liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian khi hai xe đi ngược chiều và gặp nhau.

Khi hai xe đi ngược chiều nhau và gặp nhau, tổng quãng đường hai xe đi được bằng quãng đường AB.
Tức là: \(S_1 + S_2 = S_{AB}\)

Thay biểu thức quãng đường ở Bước 2 vào, ta có:
\(v_1 \times 5 + v_2 \times 5 = S_{AB}\)

Bước 4: Thay mối quan hệ vận tốc giữa hai xe vào phương trình.

Ta biết \(v_2 = \frac{2}{3} v_1\). Thay vào phương trình ở Bước 3:
\(v_1 \times 5 + (\frac{2}{3} v_1) \times 5 = S_{AB}\)

Nhân phân phối:
\(5v_1 + \frac{10}{3} v_1 = S_{AB}\)

Quy đồng mẫu số để cộng hai số hạng chứa \(v_1\):
\(\frac{15}{3} v_1 + \frac{10}{3} v_1 = S_{AB}\)
\(\frac{25}{3} v_1 = S_{AB}\) (1)

Phần này cho chúng ta biết mối liên hệ giữa quãng đường AB và vận tốc của ô tô thứ nhất.

Bước 5: Tìm thời gian mỗi ô tô đi hết quãng đường AB.

Thời gian để ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là:
\(t_1 = \frac{S_{AB}}{v_1}\)

Từ phương trình (1), ta có \(S_{AB} = \frac{25}{3} v_1\). Thay vào biểu thức tính \(t_1\):
\(t_1 = \frac{\frac{25}{3} v_1}{v_1}\)
\(t_1 = \frac{25}{3}\) giờ

Đổi ra hỗn số để dễ hình dung hơn:
\(t_1 = 8 \frac{1}{3}\) giờ

Bây giờ, chúng ta tìm thời gian để ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB.
Thời gian để ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là:
\(t_2 = \frac{S_{AB}}{v_2}\)

Ta có \(S_{AB} = \frac{25}{3} v_1\) và \(v_2 = \frac{2}{3} v_1\). Thay vào biểu thức tính \(t_2\):
\(t_2 = \frac{\frac{25}{3} v_1}{\frac{2}{3} v_1}\)

Chia hai phân số:
\(t_2 = \frac{25}{3} \times \frac{3}{2}\)
\(t_2 = \frac{25}{2}\) giờ

Đổi ra hỗn số:
\(t_2 = 12 \frac{1}{2}\) giờ

Bước 6: Kiểm tra lại kết quả.

Vận tốc ô tô thứ nhất là \(v_1\). Thời gian đi hết quãng đường là \(t_1 = \frac{25}{3}\) giờ. Quãng đường AB là \(S_{AB} = v_1 \times \frac{25}{3}\).
Vận tốc ô tô thứ hai là \(v_2 = \frac{2}{3} v_1\). Thời gian đi hết quãng đường là \(t_2 = \frac{25}{2}\) giờ. Quãng đường AB là \(S_{AB} = v_2 \times \frac{25}{2} = \frac{2}{3} v_1 \times \frac{25}{2} = \frac{25}{3} v_1\).
Hai quãng đường tính theo hai cách đều bằng nhau, điều này khẳng định kết quả của chúng ta là đúng.

Trả lời:

Vậy, ô tô thứ nhất đi cả quãng đường AB trong \(8 \frac{1}{3}\) giờ.
Và ô tô thứ hai đi cả quãng đường AB trong \(12 \frac{1}{2}\) giờ.

Các em thấy không, chỉ cần chúng ta nắm vững công thức và phân tích từng bước, bài toán sẽ trở nên đơn giản. Chúc các em học tốt!