Chúng ta cùng phân tích đề bài một chút nhé:
Một quả bóng được thả từ độ cao 81m.
Mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên bằng 2/3 độ cao của lần rơi trước.
Chúng ta cần tính tổng quãng đường rơi và nảy của quả bóng cho đến khi nó dừng lại.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ chia thành các bước sau:

Bước 1: Xác định các quãng đường rơi và nảy của quả bóng.

– Quãng đường rơi lần đầu tiên: \(h_1 = 81\) m.
– Lần chạm đất thứ nhất, quả bóng nảy lên với độ cao bằng 2/3 độ cao lần rơi trước. Vậy, độ cao nảy lần 1 là: \(h_{nảy1} = \frac{2}{3} \times 81\) m.
– Sau khi nảy lên, quả bóng sẽ rơi xuống lần thứ hai với độ cao này. Vậy, quãng đường rơi lần 2 là: \(h_2 = \frac{2}{3} \times 81\) m.
– Lần chạm đất thứ hai, quả bóng nảy lên với độ cao bằng 2/3 độ cao lần rơi trước (tức là độ cao lần rơi thứ 2). Vậy, độ cao nảy lần 2 là: \(h_{nảy2} = \frac{2}{3} \times h_2 = \frac{2}{3} \times (\frac{2}{3} \times 81)\) m.
– Quãng đường rơi lần 3 là: \(h_3 = \frac{2}{3} \times (\frac{2}{3} \times 81)\) m.

Chúng ta có thể thấy một quy luật ở đây.

Bước 2: Phân tích các quãng đường thành hai loại: quãng đường rơi và quãng đường nảy.

– Tổng quãng đường rơi của quả bóng:
Là tổng của các quãng đường rơi liên tiếp: \(S_{rơi} = h_1 + h_2 + h_3 + \dots\)
\(S_{rơi} = 81 + \frac{2}{3} \times 81 + (\frac{2}{3})^2 \times 81 + (\frac{2}{3})^3 \times 81 + \dots\)
Đây là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \(a = 81\) và công bội \(q = \frac{2}{3}\).
Vì \(|q| = |\frac{2}{3}| < 1\), cấp số nhân này có tổng hữu hạn. Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: \(S = \frac{a}{1-q}\). Vậy, tổng quãng đường rơi là: \(S_{rơi} = \frac{81}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{81}{\frac{1}{3}} = 81 \times 3 = 243\) m. - Tổng quãng đường nảy của quả bóng: Quãng đường nảy lần 1: \(h_{nảy1} = \frac{2}{3} \times 81\) m. Quãng đường nảy lần 2: \(h_{nảy2} = \frac{2}{3} \times (\frac{2}{3} \times 81) = (\frac{2}{3})^2 \times 81\) m. Quãng đường nảy lần 3: \(h_{nảy3} = \frac{2}{3} \times (\frac{2}{3})^2 \times 81 = (\frac{2}{3})^3 \times 81\) m. Và cứ tiếp tục như vậy. Tổng quãng đường nảy là: \(S_{nảy} = h_{nảy1} + h_{nảy2} + h_{nảy3} + \dots\) \(S_{nảy} = \frac{2}{3} \times 81 + (\frac{2}{3})^2 \times 81 + (\frac{2}{3})^3 \times 81 + \dots\) Đây cũng là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \(a' = \frac{2}{3} \times 81\) và công bội \(q = \frac{2}{3}\). Tổng quãng đường nảy là: \(S_{nảy} = \frac{\frac{2}{3} \times 81}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{54}{\frac{1}{3}} = 54 \times 3 = 162\) m. Bước 3: Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng.

Tổng quãng đường mà quả bóng đi được chính là tổng của quãng đường rơi và quãng đường nảy.
Tổng quãng đường = \(S_{rơi} + S_{nảy}\)
Tổng quãng đường = \(243 + 162 = 405\) m.

Vậy, tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa là 405m.

Chúng ta cùng xem lại các đáp án:
A. 234m.
B. 567m.
C. 162m.
D. 405m.

Đáp án của chúng ta là 405m, trùng với đáp án D.

Các em có thể hình dung như thế này: lần đầu tiên quả bóng rơi 81m. Sau đó nó nảy lên một đoạn và rơi xuống, rồi lại nảy lên một đoạn ngắn hơn và rơi xuống, cứ thế cho đến khi nó dừng hẳn. Mỗi lần nảy lên là một quãng đường đi lên, và ngay sau đó là một quãng đường đi xuống (trừ lần rơi đầu tiên).

Chúc các em học tốt!