Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui khi được cùng các em giải quyết bài tập vật lý này. Đây là một dạng bài khá thú vị, giúp chúng ta củng cố kiến thức về trọng lực và định luật vạn vật hấp dẫn mà chúng ta đã học trong chương trình Vật lí 10, đặc biệt là trong các bộ sách giáo khoa mới như Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo hay Cánh diều (thường nằm ở Chương II: Động lực học, phần về Định luật vạn vật hấp dẫn và Trọng lực).

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải bài toán này một cách chi tiết, từng bước một nhé!

— Lời giải chi tiết —

Bước 1: Phân tích đề bài và xác định các đại lượng đã biết, đại lượng cần tìm

Đầu tiên, chúng ta hãy tóm tắt những thông tin mà đề bài đã cung cấp:

• Trọng lượng của quả cầu trên mặt đất: \(P_1 = 400 \text{ N}\).
• Vị trí ban đầu: Trên mặt đất. Khi ở trên mặt đất, khoảng cách từ quả cầu đến tâm Trái Đất chính là bán kính Trái Đất, ký hiệu là \(r_1 = R\).
• Vị trí mới: Cách tâm Trái Đất một khoảng \(r_2 = 4R\).
• Đại lượng cần tìm: Trọng lượng của quả cầu ở vị trí mới, ký hiệu là \(P_2\).

Bước 2: Nêu rõ công thức liên hệ giữa trọng lượng và khoảng cách đến tâm Trái Đất

Chúng ta đã biết rằng trọng lượng của một vật là lực hấp dẫn mà Trái Đất tác dụng lên vật đó. Công thức tổng quát của trọng lượng \(P\) là:

\[P = m \cdot g\]

Trong đó:

• \(m\) là khối lượng của vật (khối lượng của quả cầu), không đổi dù ở vị trí nào.
• \(g\) là gia tốc trọng trường tại vị trí đang xét.

Mặt khác, gia tốc trọng trường \(g\) tại một khoảng cách \(r\) so với tâm Trái Đất được tính bằng công thức:

\[g = G \frac{M}{r^2}\]

Trong đó:

• \(G\) là hằng số hấp dẫn.
• \(M\) là khối lượng của Trái Đất.
• \(r\) là khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vật.

Giải thích: Công thức này cho chúng ta thấy rằng gia tốc trọng trường \(g\) tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách \(r\). Điều này có nghĩa là khi chúng ta càng đi xa Trái Đất, gia tốc trọng trường càng giảm và trọng lượng của vật cũng sẽ giảm theo.

Từ hai công thức trên, chúng ta có thể suy ra công thức tính trọng lượng \(P\) theo khoảng cách \(r\) như sau:

\[P = m \cdot \left( G \frac{M}{r^2} \right) = G \frac{mM}{r^2}\]

Vì khối lượng của vật (\(m\)), hằng số hấp dẫn (\(G\)), và khối lượng của Trái Đất (\(M\)) là các đại lượng không đổi, nên chúng ta có thể thấy rõ ràng rằng trọng lượng \(P\) của vật tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ vật đến tâm Trái Đất:

\[P \propto \frac{1}{r^2}\]

Bước 3: Áp dụng công thức cho hai trường hợp cụ thể

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức này cho hai vị trí mà đề bài đã cho:

Trường hợp 1: Trên mặt đất

Khoảng cách từ quả cầu đến tâm Trái Đất là \(r_1 = R\).

Trọng lượng của quả cầu trên mặt đất là:

\[P_1 = G \frac{mM}{r_1^2} = G \frac{mM}{R^2}\]

Trường hợp 2: Ở vị trí mới

Khoảng cách từ quả cầu đến tâm Trái Đất là \(r_2 = 4R\).

Trọng lượng của quả cầu ở vị trí mới là:

\[P_2 = G \frac{mM}{r_2^2} = G \frac{mM}{(4R)^2}\]

Bước 4: Lập tỉ số để tìm đại lượng cần tìm

Để tìm \(P_2\), chúng ta sẽ lập tỉ số giữa \(P_2\) và \(P_1\). Cách này giúp chúng ta loại bỏ các hằng số chung như \(G, m, M\) và \(R^2\), làm cho phép tính trở nên đơn giản hơn rất nhiều:

\[\frac{P_2}{P_1} = \frac{G \frac{mM}{(4R)^2}}{G \frac{mM}{R^2}}\]

Chúng ta có thể rút gọn các đại lượng giống nhau ở cả tử số và mẫu số:

\[\frac{P_2}{P_1} = \frac{\frac{1}{(4R)^2}}{\frac{1}{R^2}}\]
\[\frac{P_2}{P_1} = \frac{R^2}{(4R)^2}\]

Thực hiện phép bình phương ở mẫu số:

\[\frac{P_2}{P_1} = \frac{R^2}{16R^2}\]

Rút gọn \(R^2\):

\[\frac{P_2}{P_1} = \frac{1}{16}\]

Từ đó, chúng ta có thể tìm được \(P_2\):

\[P_2 = P_1 \times \frac{1}{16}\]

Bước 5: Thực hiện phép tính và kết luận

Thay giá trị \(P_1 = 400 \text{ N}\) vào công thức:

\[P_2 = 400 \text{ N} \times \frac{1}{16}\]
\[P_2 = 25 \text{ N}\]

Vậy, khi chuyển quả cầu đến một điểm cách tâm Trái Đất \(4R\), trọng lượng của nó là \(25 \text{ N}\).

— Kết luận —

Qua bài toán này, các em thấy rằng trọng lượng của vật giảm đi đáng kể khi khoảng cách đến tâm Trái Đất tăng lên. Cụ thể, khi khoảng cách tăng lên 4 lần, trọng lượng giảm đi \(4^2 = 16\) lần. Đây là một ứng dụng rất thực tế của định luật vạn vật hấp dẫn và công thức tính gia tốc trọng trường. Rất mong các em đã hiểu rõ bài giải này!