Chúng ta cùng phân tích bài toán này nhé.
Đề bài cho chúng ta một sóng cơ học được phát ra từ nguồn O với:
– Tần số: \(f = 40 \text{ Hz}\)
– Tốc độ truyền sóng: \(V = 120 \text{ cm/s}\)

Hai điểm A và B nằm trên phương truyền sóng ox, cùng phía với O và có khoảng cách đến O lần lượt là:
– Khoảng cách OA: \(d_A = 30 \text{ cm}\)
– Khoảng cách OB: \(d_B = 45 \text{ cm}\)

Chúng ta cần tìm số điểm trên đoạn AB luôn dao động vuông pha với nguồn O.

Bước 1: Tính bước sóng.
Bước sóng là quãng đường sóng truyền đi được trong một chu kỳ. Ta có công thức liên hệ giữa tốc độ truyền sóng, tần số và bước sóng là:
\(V = \lambda f\)
Từ đó, ta tính được bước sóng \(\lambda\):
\(\lambda = \frac{V}{f}\)
Thay số vào ta có:
\(\lambda = \frac{120 \text{ cm/s}}{40 \text{ Hz}} = 3 \text{ cm}\)

Bước 2: Xét điều kiện vuông pha với nguồn.
Hai điểm dao động vuông pha với nhau khi hiệu độ lệch pha của chúng bằng một số lẻ lần \(\frac{\pi}{2}\).
Nguồn O là gốc dao động, ta coi li độ của nguồn tại thời điểm t là \(u_O(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)\).
Một điểm M cách nguồn O một khoảng d, dao động sẽ có phương trình: \(u_M(t) = A \cos(\omega t – \frac{2\pi d}{\lambda} + \phi_0)\).
Độ lệch pha giữa điểm M và nguồn O là:
\(\Delta \phi_{MO} = \phi_M – \phi_O = (\omega t – \frac{2\pi d}{\lambda} + \phi_0) – (\omega t + \phi_0) = -\frac{2\pi d}{\lambda}\)
(Chúng ta chỉ xét phần độ lệch pha do vị trí, không xét phần thời gian).

Để điểm M dao động vuông pha với nguồn O, ta có điều kiện:
\(\Delta \phi_{MO} = (2k + 1)\frac{\pi}{2}\), với k là số nguyên.
Trong đó, ta đang xét độ lệch pha về mặt giá trị, nên ta xét \(\left| \Delta \phi_{MO} \right| = (2k + 1)\frac{\pi}{2}\).
Tuy nhiên, cách hiểu phổ biến và trực quan hơn là xét mối liên hệ pha theo công thức:
Độ lệch pha giữa hai điểm M và N trên phương truyền sóng cách nguồn lần lượt là \(d_M\) và \(d_N\) là \(\Delta \phi_{MN} = \frac{2\pi}{\lambda} |d_M – d_N|\).
Nếu điểm M dao động vuông pha với nguồn O, thì độ lệch pha giữa M và O là \(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots\)
Điều này tương đương với:
\(\frac{2\pi d}{\lambda} = (2k+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\frac{d}{\lambda} = \frac{2k+1}{4}\)
\(d = (2k+1)\frac{\lambda}{4}\)
Ở đây, k là số nguyên không âm để đảm bảo d là khoảng cách dương.
Hay có thể viết là:
\(d = \frac{\lambda}{4} + k\frac{\lambda}{2}\) với \(k = 0, 1, 2, \dots\)

Bước 3: Tìm các điểm trên đoạn AB thỏa mãn điều kiện vuông pha.
Chúng ta cần tìm các điểm M có khoảng cách d đến O thỏa mãn \(d = (2k+1)\frac{\lambda}{4}\) và \(30 \text{ cm} \le d \le 45 \text{ cm}\).

Với \(\lambda = 3 \text{ cm}\), ta có:
\(d = (2k+1)\frac{3}{4} \text{ cm}\)

Với \(k = 0\):
\(d = (2(0)+1)\frac{3}{4} = \frac{3}{4} = 0.75 \text{ cm}\). Điểm này không nằm trên đoạn AB.

Với \(k = 1\):
\(d = (2(1)+1)\frac{3}{4} = 3 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{4} = 2.25 \text{ cm}\). Điểm này không nằm trên đoạn AB.

Với \(k = 2\):
\(d = (2(2)+1)\frac{3}{4} = 5 \times \frac{3}{4} = \frac{15}{4} = 3.75 \text{ cm}\). Điểm này không nằm trên đoạn AB.

Với \(k = 3\):
\(d = (2(3)+1)\frac{3}{4} = 7 \times \frac{3}{4} = \frac{21}{4} = 5.25 \text{ cm}\). Điểm này không nằm trên đoạn AB.

Cứ tiếp tục như vậy, ta thấy giá trị của d tăng dần. Chúng ta cần tìm k sao cho \(30 \le (2k+1)\frac{3}{4} \le 45\).

Nhân cả ba vế với \(\frac{4}{3}\):
\(30 \times \frac{4}{3} \le 2k+1 \le 45 \times \frac{4}{3}\)
\(40 \le 2k+1 \le 60\)

Trừ 1 cho cả ba vế:
\(40 – 1 \le 2k \le 60 – 1\)
\(39 \le 2k \le 59\)

Chia cả ba vế cho 2:
\(\frac{39}{2} \le k \le \frac{59}{2}\)
\(19.5 \le k \le 29.5\)

Vì k là số nguyên, nên các giá trị của k có thể nhận là:
\(k = 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29\).

Đếm số giá trị của k: \(29 – 20 + 1 = 10\).

Mỗi giá trị nguyên của k trong khoảng này sẽ cho ta một điểm nằm trên đoạn AB dao động vuông pha với nguồn.
Do đó, có 10 điểm trên đoạn AB luôn dao động vuông pha với nguồn.

Các em có thể kiểm tra lại một vài giá trị:
Với \(k = 20\): \(d = (2 \times 20 + 1) \times \frac{3}{4} = 41 \times \frac{3}{4} = \frac{123}{4} = 30.75 \text{ cm}\). Điểm này nằm trên AB.
Với \(k = 29\): \(d = (2 \times 29 + 1) \times \frac{3}{4} = 59 \times \frac{3}{4} = \frac{177}{4} = 44.25 \text{ cm}\). Điểm này nằm trên AB.

Vậy, số điểm trên đoạn AB luôn dao động vuông pha với nguồn là 10 điểm.

Các em về nhà xem lại bài và làm thêm các bài tập tương tự nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.