một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8 giờ 20p. Tính …
Chúng ta có một bài toán sau: một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8 giờ 20 phút. Biết vận tốc của dòng nước là 4km/h, chúng ta cần tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng.
Trước hết, chúng ta cần xác định các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm.
* Quãng đường tàu thủy đi (một chiều): S = 80 km
* Thời gian cả đi lẫn về: T = 8 giờ 20 phút
* Vận tốc dòng nước: v_nước = 4 km/h
* Vận tốc tàu thủy khi nước yên lặng: v_tàu = ? (đây là đại lượng chúng ta cần tìm)
Bây giờ, chúng ta sẽ đổi đơn vị thời gian cho thống nhất. 20 phút bằng bao nhiêu giờ?
20 phút = 20/60 giờ = 1/3 giờ.
Vậy, tổng thời gian cả đi lẫn về là: T = 8 + 1/3 giờ = 25/3 giờ.
Tiếp theo, chúng ta cần phân tích chuyển động của tàu thủy. Tàu thủy sẽ chuyển động hai chiều: xuôi dòng và ngược dòng.
* Khi tàu đi xuôi dòng: Tàu được dòng nước đẩy đi, nên vận tốc của tàu khi xuôi dòng sẽ bằng vận tốc của tàu khi nước yên lặng cộng với vận tốc dòng nước.
Gọi vận tốc tàu khi nước yên lặng là \(v_1\).
Vận tốc tàu khi xuôi dòng là: \(v_{xuôi} = v_1 + v_{nước} = v_1 + 4\) (km/h)
* Khi tàu đi ngược dòng: Dòng nước cản trở tàu, nên vận tốc của tàu khi ngược dòng sẽ bằng vận tốc của tàu khi nước yên lặng trừ đi vận tốc dòng nước.
Vận tốc tàu khi ngược dòng là: \(v_{ngược} = v_1 – v_{nước} = v_1 – 4\) (km/h)
Chúng ta biết công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian là: Quãng đường = Vận tốc × Thời gian.
Hay: \(S = v \times t\). Từ đó, ta có: \(t = S/v\).
Thời gian tàu đi xuôi dòng là: \(t_{xuôi} = S / v_{xuôi} = 80 / (v_1 + 4)\) (giờ)
Thời gian tàu đi ngược dòng là: \(t_{ngược} = S / v_{ngược} = 80 / (v_1 – 4)\) (giờ)
Tổng thời gian cả đi lẫn về là \(t_{xuôi} + t_{ngược}\). Theo đề bài, tổng thời gian này là 25/3 giờ.
Vì vậy, chúng ta có phương trình:
\[ \frac{80}{v_1 + 4} + \frac{80}{v_1 – 4} = \frac{25}{3} \]
Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm \(v_1\).
Trước hết, chúng ta cần tìm mẫu số chung. Mẫu số chung của vế trái là \((v_1 + 4)(v_1 – 4)\).
Quy đồng mẫu số hai phân số ở vế trái:
\[ \frac{80(v_1 – 4)}{(v_1 + 4)(v_1 – 4)} + \frac{80(v_1 + 4)}{(v_1 + 4)(v_1 – 4)} = \frac{25}{3} \]
\[ \frac{80v_1 – 320 + 80v_1 + 320}{(v_1 + 4)(v_1 – 4)} = \frac{25}{3} \]
\[ \frac{160v_1}{v_1^2 – 16} = \frac{25}{3} \]
Lưu ý: Điều kiện để phương trình có nghĩa là \(v_1 – 4 \neq 0\), tức là \(v_1 \neq 4\). Và vì \(v_1\) là vận tốc tàu khi nước yên lặng, nên nó phải dương, \(v_1 > 0\). Hơn nữa, để tàu có thể đi ngược dòng được thì vận tốc của tàu phải lớn hơn vận tốc dòng nước, tức là \(v_1 > v_{nước}\), hay \(v_1 > 4\).
Bây giờ, chúng ta nhân chéo hai vế:
\[ 160v_1 \times 3 = 25 \times (v_1^2 – 16) \]
\[ 480v_1 = 25v_1^2 – 400 \]
Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành một phương trình bậc hai:
\[ 25v_1^2 – 480v_1 – 400 = 0 \]
Để đơn giản hóa phương trình, chúng ta có thể chia cả hai vế cho 5:
\[ 5v_1^2 – 96v_1 – 80 = 0 \]
Bây giờ, chúng ta sẽ dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm \(v_1\).
Phương trình có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\). Ở đây, \(a = 5\), \(b = -96\), \(c = -80\).
Tính Delta (\( \Delta \)):
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = (-96)^2 – 4 \times 5 \times (-80) \]
\[ \Delta = 9216 + 1600 \]
\[ \Delta = 10816 \]
Tính căn bậc hai của Delta:
\[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{10816} \]
Các em có thể dùng máy tính để tính căn này. \( \sqrt{10816} = 104 \).
Bây giờ, chúng ta tìm hai nghiệm của phương trình:
\[ v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
Nghiệm thứ nhất:
\[ v_1 = \frac{96 + 104}{2 \times 5} \]
\[ v_1 = \frac{200}{10} \]
\[ v_1 = 20 \]
Nghiệm thứ hai:
\[ v_1 = \frac{96 – 104}{2 \times 5} \]
\[ v_1 = \frac{-8}{10} \]
\[ v_1 = -0.8 \]
Chúng ta cần xem xét các nghiệm này. Vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng phải là một số dương. Hơn nữa, chúng ta đã đặt điều kiện \(v_1 > 4\).
Nghiệm \(v_1 = 20\) thỏa mãn điều kiện \(v_1 > 4\).
Nghiệm \(v_1 = -0.8\) không thỏa mãn điều kiện vì vận tốc không thể âm.
Vậy, vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là 20 km/h.
Để kiểm tra lại, chúng ta có thể tính lại thời gian đi và về với \(v_1 = 20\) km/h.
Vận tốc xuôi dòng: \(v_{xuôi} = 20 + 4 = 24\) km/h.
Thời gian đi xuôi dòng: \(t_{xuôi} = 80 / 24 = 10/3\) giờ.
Vận tốc ngược dòng: \(v_{ngược} = 20 – 4 = 16\) km/h.
Thời gian đi ngược dòng: \(t_{ngược} = 80 / 16 = 5\) giờ.
Tổng thời gian cả đi lẫn về: \(t_{xuôi} + t_{ngược} = 10/3 + 5 = 10/3 + 15/3 = 25/3\) giờ.
25/3 giờ = 8 và 1/3 giờ = 8 giờ 20 phút.
Kết quả của chúng ta hoàn toàn khớp với đề bài.
Vậy, đáp số của bài toán là: Vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là 20 km/h.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
\(8\) giờ \(20\) phút \(=25/3 h\)
Gọi vận tốc tàu thủy khi nước lặng là \(x(km\)\(/h,x>4)\)
\(=>\) Vận tốc xuôi dòng là \(x+4(km\)\(/h)\)
\(=>\) Vận tốc ngược dòng là \(x-4(km\)\(/h)\)
\(=>\) Thời gian đi xuôi dòng là \(80/(x+4) h\)
\(=>\) Thời gian đi ngược dòng là \(80/(x-4) h\)
Theo bài ra ta có phương trình
\(80/(x+4) +80/(x-4)= 25/3\)
\(<=>(80x-320+80x+320)/(x^2-16)=25/3\)
\(<=>(160x)/(x^2-16)=25/3\)
\(=>480x=25x^2-400\)
\(<=>25x^2-480x-400=0\)
\(<=>5x^2-96x-80=0\)
\(<=>(x-20)(5x+4)=0\)
Do \(x>4=>5x+4>24>0\)
\(=>x-20=0\)
\(=>x=20(t\)\(/m)\)
Vậy vận tốc tàu thủy khi nước lặng là \(20km\)\(/h\)
Đáp án:
Vận tốc của tàu thủy là \(20km//h\)
Giải thích các bước giải:
Gọi vận tốc của tàu thủy là \(v\) \((v>4)\)
Thời gian của tàu thủy khi xuôi dòng là:
\(\frac{80}{v+4}\) \((h)\)
Thời gian của tàu thủy khi ngược dòng là:
\(\frac{80}{v-4}\) \((h)\)
Thời gian cả đi lẫn về của tàu thủy là:
\(\frac{80}{v+4}+\frac{80}{v-4}=\frac{25}{3}\)
\(=>\frac{160v}{v^2-16}=\frac{25}{3}\)
\(=>25v^2-480v-400=0\)
\(<=>25v^2-500v+20v-400=0\)
\(<=>25v(v-20)+20(v-20)=0\)
\(<=>(v-20)(25v+20)\)
\(<=>v=20\) hoặc \(v=\frac{-4}{5}\)
Mà \(v>4\)
\(=>v=4\) \((km//h)\)
Vậy vận tốc của tàu thủy là \(20km//h\)