Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất ở độ cao h bằng bán kính R của trái Đất….
Trước tiên, thầy muốn nhắc lại một chút kiến thức cơ bản.
Bước 1: Phân tích đề bài và xác định các đại lượng đã cho.
Đề bài cho chúng ta biết:
– Vệ tinh bay quanh Trái Đất ở độ cao h bằng bán kính R của Trái Đất.
– Bán kính Trái Đất: R = 6400 km.
– Gia tốc trọng trường tại mặt đất: g = 10 m/s2.
Yêu cầu: Tính tốc độ dài (v) và chu kỳ (T) của vệ tinh.
Bước 2: Đổi đơn vị về hệ SI.
Các đại lượng cần được đưa về đơn vị chuẩn của hệ SI để tính toán.
R = 6400 km = 6400 1000 m = 6.4 106 m.
g = 10 m/s2 (đã ở đơn vị SI).
Bước 3: Xác định bán kính quỹ đạo của vệ tinh.
Vệ tinh bay ở độ cao h so với mặt đất. Do đó, bán kính quỹ đạo của vệ tinh (r) sẽ là tổng của bán kính Trái Đất và độ cao h.
Theo đề bài, h = R.
Vậy, bán kính quỹ đạo của vệ tinh là:
r = R + h = R + R = 2R.
r = 2 (6.4 106 m) = 12.8 * 106 m.
Bước 4: Tìm biểu thức tính gia tốc trọng trường tại độ cao của vệ tinh.
Gia tốc trọng trường trên bề mặt Trái Đất (g) và tại độ cao của vệ tinh (g’) có mối liên hệ với bán kính Trái Đất (R) và bán kính quỹ đạo của vệ tinh (r) theo công thức:
\( \frac{g’}{g} = \frac{R^2}{r^2} \)
Hay \( g’ = g \cdot \frac{R^2}{r^2} \).
Thay r = 2R vào biểu thức trên, ta được:
\( g’ = g \cdot \frac{R^2}{(2R)^2} = g \cdot \frac{R^2}{4R^2} = \frac{g}{4} \).
Vậy, gia tốc trọng trường tại độ cao của vệ tinh là \( g’ = \frac{10}{4} = 2.5 \) m/s2.
Bước 5: Tìm biểu thức tính tốc độ dài của vệ tinh.
Vệ tinh chuyển động tròn đều quanh Trái Đất dưới tác dụng của lực hấp dẫn của Trái Đất. Lực hấp dẫn này đóng vai trò là lực hướng tâm.
Ta có biểu thức của lực hấp dẫn: \( F_{hd} = G \frac{Mm}{r^2} \), trong đó M là khối lượng Trái Đất, m là khối lượng vệ tinh, và r là bán kính quỹ đạo.
Lực hướng tâm được tính bằng: \( F_{ht} = m \frac{v^2}{r} \).
Do \( F_{hd} = F_{ht} \), ta có:
\( G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{v^2}{r} \)
\( \frac{GM}{r} = v^2 \)
Chúng ta biết rằng gia tốc trọng trường tại mặt đất là \( g = G \frac{M}{R^2} \), suy ra \( GM = gR^2 \).
Thay \( GM \) vào biểu thức trên, ta được:
\( v^2 = \frac{gR^2}{r} \)
Vì \( r = 2R \), nên
\( v^2 = \frac{gR^2}{2R} = \frac{gR}{2} \)
\( v = \sqrt{\frac{gR}{2}} \)
Đây là công thức tính tốc độ dài của vệ tinh.
Bước 6: Tính tốc độ dài của vệ tinh.
Thay các giá trị đã biết vào công thức:
\( v = \sqrt{\frac{10 \text{ m/s}^2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ m}}{2}} \)
\( v = \sqrt{5 \cdot 6.4 \cdot 10^6} \)
\( v = \sqrt{32 \cdot 10^6} \)
\( v = \sqrt{3.2 \cdot 10^7} \)
Để tính toán cho dễ, ta có thể viết lại \( 32 \cdot 10^6 \) thành \( 320 \cdot 10^5 \) hoặc \( 3.2 \cdot 10^7 \).
\( v = \sqrt{32 \times 10^6} = \sqrt{16 \times 2 \times 10^6} = 4 \times 10^3 \times \sqrt{2} \)
\( v \approx 4000 \times 1.414 \)
\( v \approx 5656 \) m/s.
Hoặc ta có thể tính \( \sqrt{3.2 \cdot 10^7} = \sqrt{32000000} \).
\( v \approx 5657 \) m/s.
Thầy làm tròn là: \( v \approx 5657 \) m/s.
Bước 7: Tìm biểu thức tính chu kỳ của vệ tinh.
Chu kỳ (T) là thời gian để vệ tinh quay hết một vòng quanh Trái Đất.
Chu kỳ được tính bằng công thức:
\( T = \frac{2\pi r}{v} \)
Trong đó r là bán kính quỹ đạo và v là tốc độ dài của vệ tinh.
Ta đã có \( r = 2R \) và \( v = \sqrt{\frac{gR}{2}} \).
Thay vào công thức tính chu kỳ:
\( T = \frac{2\pi (2R)}{\sqrt{\frac{gR}{2}}} \)
\( T = \frac{4\pi R}{\sqrt{\frac{gR}{2}}} \)
\( T = 4\pi R \sqrt{\frac{2}{gR}} \)
\( T = 4\pi \sqrt{\frac{2R^2}{gR}} \)
\( T = 4\pi \sqrt{\frac{2R}{g}} \)
Đây là công thức tính chu kỳ của vệ tinh.
Bước 8: Tính chu kỳ của vệ tinh.
Thay các giá trị đã biết vào công thức:
\( T = 4\pi \sqrt{\frac{2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ m}}{10 \text{ m/s}^2}} \)
\( T = 4\pi \sqrt{\frac{12.8 \cdot 10^6}{10}} \)
\( T = 4\pi \sqrt{1.28 \cdot 10^6} \)
\( T = 4\pi \cdot 10^3 \sqrt{1.28} \)
\( \sqrt{1.28} \approx 1.131 \)
\( T \approx 4 \times 3.14 \times 1000 \times 1.131 \)
\( T \approx 12.56 \times 1131 \)
\( T \approx 14200 \) giây.
Để đổi ra giờ, ta chia cho 3600: \( 14200 / 3600 \approx 3.94 \) giờ.
Thầy làm tròn kết quả chu kỳ là: \( T \approx 14213 \) giây.
Kết luận:
– Tốc độ dài của vệ tinh là \( v \approx 5657 \) m/s.
– Chu kỳ của vệ tinh là \( T \approx 14213 \) giây.
Các em về nhà xem lại bài giảng và làm thêm các bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé. Nếu có gì chưa hiểu, cứ mạnh dạn hỏi thầy.
Đáp án:
\(v= 5656,9m/s\)
\(T=14209,9s \)
Lời giải:
Khối lượng của Trái Đất và vệ tinh lần lượt là M và m.
Bán kính của Trái Đất là R = 6400km. Vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất ở độ cao \(h = R\)
\(=>\) Bán kính quỹ đạo tròn của vệ tinh từ vệ tinh đến tâm Trái Đất là: \(R + h = R + R = 2R\).
Khi vệ tinh chuyển động tròn đều quanh Trái Đất, lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên vệ tinh đóng vai trò là lực hướng tâm.
Ta có: \({F_{hd}} = {F_{ht}} \Leftrightarrow G{{mM} \over {{{(R + h)}^2}}} = {{m{v^2}} \over {R + h}}\)\( \Rightarrow v = \sqrt {{{mM} \over {R + h}}} \Rightarrow v = \sqrt {{{GM} \over {2R}}} \) (1)
Mặt khác do: \(g = {{GM} \over {{R^2}}} \Leftrightarrow g{R^2} = GM\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow v = \sqrt {{{g{R^2}} \over {2R}}} = \sqrt {{{gR} \over 2}} = \sqrt {{{{{10.6400.10}^3}} \over 2}} \)\(= 5656,9\left( {m/s} \right)\)
Công thức liên hệ giữa tốc độ dài và tốc độ góc:
\(\eqalign{& v = \omega \left( {R + h} \right) \Rightarrow \omega = {v \over {R + h}}\cr& \Rightarrow T = {{2\pi } \over \omega } = {{2\pi } \over {{v \over {R + h}}}} = {{2\pi \left( {R + h} \right)} \over v} = {{4\pi R}\over v} \cr & \Rightarrow T = {{{{4.3,14.6400.10}^3}} \over {5656,9}} = 14209,9s \cr} \)