N^2-n+2 chia hết cho n-1
Các em còn nhớ khái niệm chia hết mà chúng ta đã học không? Một số \(a\) chia hết cho một số \(b\) khác 0 nếu tồn tại một số nguyên \(k\) sao cho \(a = b \times k\). Trong bài toán này, chúng ta có biểu thức \(n^2 – n + 2\) đóng vai trò là số bị chia và \(n – 1\) là số chia.
Chúng ta sẽ đi từng bước nhé!
Bước 1: Phân tích biểu thức \(n^2 – n + 2\) để làm xuất hiện thừa số \(n – 1\).
Mục tiêu của chúng ta là làm sao để có thể đưa biểu thức \(n^2 – n + 2\) về dạng một cái gì đó nhân với \(n – 1\), cộng hoặc trừ đi một phần dư.
Cô thấy trong biểu thức \(n^2 – n + 2\) có \(n^2\) và \(-n\). Cô nghĩ ngay đến việc nhóm \(n^2\) với một cái gì đó để tạo ra \(n-1\).
Chúng ta có thể thử tách \(n^2\) như sau:
\(n^2 – n + 2\)
Cô muốn xuất hiện \(n – 1\) ở đây. Cô thử nhân \(n\) với \(n – 1\): \(n \times (n – 1) = n^2 – n\).
Vậy, cô có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau:
\(n^2 – n + 2 = (n^2 – n) + 2\)
Bây giờ, chúng ta thấy \(n^2 – n\) chính là \(n \times (n – 1)\). Vậy ta có:
\(n^2 – n + 2 = n \times (n – 1) + 2\)
Bước 2: Sử dụng điều kiện chia hết để suy luận.
Đề bài cho biết \(n^2 – n + 2\) chia hết cho \(n – 1\).
Theo định nghĩa chia hết, điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \(k\) sao cho:
\(n^2 – n + 2 = k \times (n – 1)\)
Thay biểu thức \(n^2 – n + 2\) mà chúng ta vừa phân tích ở Bước 1 vào, ta có:
\(n \times (n – 1) + 2 = k \times (n – 1)\)
Bây giờ, chúng ta hãy chuyển vế để tập trung vào phần dư:
\(2 = k \times (n – 1) – n \times (n – 1)\)
Ta có thể nhóm thừa số chung \(n – 1\) ra ngoài:
\(2 = (k – n) \times (n – 1)\)
Gọi \(k’ = k – n\). Vì \(k\) là số nguyên và \(n\) là số nguyên, nên \(k’\) cũng là một số nguyên.
Vậy, ta có:
\(2 = k’ \times (n – 1)\)
Điều này có nghĩa là 2 chia hết cho \(n – 1\).
Bước 3: Tìm các giá trị của \(n – 1\) để 2 chia hết cho \(n – 1\).
Nếu 2 chia hết cho \(n – 1\), thì \(n – 1\) phải là một ước của 2.
Các ước của số 2 là: -2, -1, 1, 2.
Vậy, chúng ta có các trường hợp sau cho \(n – 1\):
Trường hợp 1: \(n – 1 = -2\)
Trường hợp 2: \(n – 1 = -1\)
Trường hợp 3: \(n – 1 = 1\)
Trường hợp 4: \(n – 1 = 2\)
Bước 4: Tìm các giá trị của \(n\) tương ứng.
Từ các trường hợp trên, ta sẽ tìm được các giá trị của \(n\):
Trường hợp 1: \(n – 1 = -2\)
Cộng 1 vào cả hai vế, ta được: \(n = -2 + 1 = -1\).
Trường hợp 2: \(n – 1 = -1\)
Cộng 1 vào cả hai vế, ta được: \(n = -1 + 1 = 0\).
Trường hợp 3: \(n – 1 = 1\)
Cộng 1 vào cả hai vế, ta được: \(n = 1 + 1 = 2\).
Trường hợp 4: \(n – 1 = 2\)
Cộng 1 vào cả hai vế, ta được: \(n = 2 + 1 = 3\).
Kết luận:
Vậy, các giá trị nguyên của \(n\) để \(n^2 – n + 2\) chia hết cho \(n – 1\) là: \(-1, 0, 2, 3\).
Các em thấy không, bài toán này không hề khó nếu chúng ta biết cách phân tích biểu thức và sử dụng đúng định nghĩa về phép chia hết. Cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!
Cách giải:Đề thiếu \(x \in N\) hoặc \(x \in Z\)
\(n^2-n+2 \vdots n-1\)
\(\to n(n-1)+2 \vdots n-1\)
\(\to 2 \vdots n-1\)(do \(n(n-1) \vdots n-1\))
\(\to n-1 \in Ư(2)={1,-1,2,-2}\)
\(+)n-1=1 \to n=2\)
\(+)n-1=-1 \to n=0\)
\(+)n-1=2 \to n=3\)
\(+)n-1=-2 \to n=-1\)
\((n^2-n+2)\) \(\vdots\) \((n-1)\)
\(⇔n(n-1)+2\) \(\vdots\) \((n-1)\)
Vì \(n-1\) \(\vdots\) \((n-1)\) nên \(n\) và \(2\) \(\vdots\) \((n-1)\).
\(⇔n(n-1)\) \(\vdots\) \((n-1)\)
\(n-1∈Ư(2)\)
\(n-1∈\) \({±1;±2}\)
Ta có bảng:
\(\begin{array}{|c|c|c|}\hline x-1&1&-1&2&-2\\\hline x&2&0&3&-1\\\hline \end{array}\)
Vậy \(n∈\) \({2;0;3;-1}\).