nếu sinx + cosx =1/3 thì sin2x bằng
Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài tập này. Đây là một dạng bài rất cơ bản và thường gặp trong chương trình, các em cần nắm vững nhé.
Đề bài cho chúng ta biết: \( \sin x + \cos x = 1/3 \)
Yêu cầu chúng ta tính: \( \sin 2x \)
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tìm mối liên hệ giữa biểu thức đã cho \( (\sin x + \cos x) \) và biểu thức cần tính \( (\sin 2x) \). Các em hãy nhớ lại các công thức lượng giác đã học nhé.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Phân tích và tìm hướng giải
Chúng ta nhận thấy rằng nếu bình phương biểu thức \( \sin x + \cos x \), ta sẽ làm xuất hiện hằng đẳng thức \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) và cả biểu thức \( 2\sin x \cos x \).
Mà theo công thức góc nhân đôi, ta có \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \).
Đây chính là chìa khóa để giải bài toán! Vì vậy, hướng đi của chúng ta là bình phương hai vế của phương trình đã cho.
Bước 2: Tiến hành bình phương hai vế
Từ giả thiết, ta có:
\[ \sin x + \cos x = 1/3 \]
Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:
\[ (\sin x + \cos x)^2 = (1/3)^2 \]
Bước 3: Khai triển và áp dụng công thức lượng giác
Sử dụng hằng đẳng thức \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), ta khai triển vế trái:
\[ \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1/9 \]
Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm các số hạng lại để áp dụng các công thức lượng giác quen thuộc:
\[ (\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x \cos x = 1/9 \]
Chúng ta có 2 công thức cần áp dụng ở đây:
- Công thức lượng giác cơ bản: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)
- Công thức góc nhân đôi: \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \)
Thay hai công thức này vào phương trình trên, ta được:
\[ 1 + \sin 2x = 1/9 \]
Bước 4: Tìm giá trị của \( \sin 2x \)
Từ phương trình \( 1 + \sin 2x = 1/9 \), ta dễ dàng tìm được \( \sin 2x \) bằng cách chuyển vế:
\[ \sin 2x = 1/9 – 1 \]
\[ \sin 2x = 1/9 – 9/9 \]
\[ \sin 2x = -8/9 \]
Kết luận:
Vậy, nếu \( \sin x + \cos x = 1/3 \) thì \( \sin 2x = -8/9 \).
Bài toán này rất đơn giản phải không nào? Các em chỉ cần ghi nhớ mối liên hệ giữa \( (\sin x \pm \cos x)^2 \) và \( \sin 2x \). Chúc các em học tốt
Đáp án+Giải thích các bước giải:
Ta có: \(sinx+cosx=1/3\)
Bình phương hai vế ta được:
\((sinx+cosx)^{2}=(1/3)^{2}\)
\(sin^{2}x+2sinxcosx+cos^{2}x=1/9\)
\((sin^{2}x+cos^{2}x)+2sinxcosx=1/9\)
\(2sinxcosx+1=1/9\)
\(2sinxcosx=1/9-1\)
\(2sinxcosx=-8/9\)
\(->sin2x=-8/9\)
Vậy \(sin2x=-8/9\)
Áp dụng công thức nhân đôi: \(sin2x=2sinxcosx\)
Đáp án+Giải thích các bước giải:
\(sinx+ cosx=\frac{1}{3}\)
\((sinx+cosx)^2=(\frac{1}{3})^2\)
\(sin^2 x+2cosx.sinx+cos^2 x=\frac{1}{9}\)
\(1+2cosx.sinx=\frac{1}{9}\)
Mà \(sin2x=2cosx.sinx\) nên
\(1+sin2x=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow\) \(sin2x=\frac{1}{9}-1\)
\(\Leftrightarrow\) \(sin2x=-\frac{8}{9}\)
Vậy \(sin2x=-\frac{8}{9}\)