Nghiệm của phương trình log2(x+1)=1+log2(x-1) là:
A.x=3
B.x=2
C.x=1
D.x=-2
A.x=3
B.x=2
C.x=1
D.x=-2
Trước hết, các em hãy nhớ lại điều kiện xác định của hàm số logarit. Cụ thể, với phương trình logarit có dạng log_a(b), ta cần có b > 0.
Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào bài tập cụ thể.
Phương trình đã cho là: log2(x+1) = 1 + log2(x-1)
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Để phương trình có nghĩa, các biểu thức bên trong dấu logarit phải lớn hơn 0.
Ta có hai biểu thức: (x+1) và (x-1).
Do đó, ta cần có:
x + 1 > 0 => x > -1
Và
x – 1 > 0 => x > 1
Kết hợp hai điều kiện trên, ta được điều kiện xác định của phương trình là x > 1.
Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tương đương.
Mục tiêu của chúng ta là đưa phương trình về dạng logarit bằng nhau hoặc đưa về dạng A = B.
Quan sát vế phải của phương trình: 1 + log2(x-1).
Chúng ta có thể biểu diễn số 1 dưới dạng logarit cơ số 2.
Ta biết rằng log_a(a) = 1. Vậy, 1 = log2(2).
Thay vào phương trình, ta được:
log2(x+1) = log2(2) + log2(x-1)
Bây giờ, chúng ta sử dụng công thức cộng hai logarit cùng cơ số: log_a(M) + log_a(N) = log_a(M*N).
Áp dụng công thức này cho vế phải, ta có:
log2(2) + log2(x-1) = log2(2 * (x-1)) = log2(2x – 2)
Vậy, phương trình trở thành:
log2(x+1) = log2(2x – 2)
Bước 3: Giải phương trình logarit đã được đưa về dạng tương đương.
Khi hai logarit cùng cơ số bằng nhau, tức là hai biểu thức bên trong dấu logarit cũng bằng nhau.
Nếu log_a(M) = log_a(N) thì M = N.
Áp dụng vào phương trình của chúng ta:
x + 1 = 2x – 2
Bây giờ, chúng ta giải phương trình bậc nhất này.
Chuyển các hạng tử chứa x về một vế và các hạng tử tự do về vế còn lại:
1 + 2 = 2x – x
3 = x
Vậy, ta được nghiệm là x = 3.
Bước 4: Kiểm tra nghiệm với điều kiện xác định.
Chúng ta đã tìm được nghiệm x = 3.
Điều kiện xác định của phương trình là x > 1.
Ta thấy rằng 3 > 1, nên nghiệm x = 3 thỏa mãn điều kiện xác định.
Do đó, nghiệm của phương trình là x = 3.
So sánh với các phương án đưa ra:
A. x = 3
B. x = 2
C. x = 1
D. x = -2
Nghiệm của phương trình là x = 3, ứng với phương án A.
Vậy, đáp án đúng là A.
Các em thấy đó, khi giải phương trình logarit, việc đầu tiên và quan trọng nhất là xác định điều kiện xác định của phương trình. Sau đó, chúng ta biến đổi phương trình về các dạng quen thuộc để dễ dàng giải quyết.
Cô hy vọng với cách trình bày chi tiết này, các em đã hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!
Đáp án:
\(\bb A\)
Giải thích các bước giải:
\(\log_{2}\ (x+1)=1+\log_{2}\ (x-1)\)
ĐK: \(x > 1\)
\(⇔ \log_{2}\ (x+1)=\log_{2} 2+\log_{2}\ (x-1)\)
\(⇔ \log_{2}\ (x+1)=\log_{2} [2(x-1)]\)
\(⇔ x+1=2(x-1)\)
\(⇔ x+1=2x-2\)
\(⇔ x=3\ (TM)\)
Vậy \(S={3}\)