Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về phương trình lượng giác cơ bản, một dạng bài rất quen thuộc trong chương trình Toán 11 của cả ba bộ sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo và Cánh diều. Đó là tìm nghiệm của phương trình \( \sin x = \sin(-2) \).

Bước 1: Nhận dạng dạng phương trình và công thức áp dụng.

Phương trình đã cho có dạng \( \sin x = \sin \alpha \). Đây là một trong các dạng phương trình lượng giác cơ bản mà chúng ta đã học.

Để giải dạng phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm tổng quát:

Công thức: Phương trình \( \sin x = \sin \alpha \) có các nghiệm là:

\[ \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{cases} \]

Trong đó, \( k \) là một số nguyên (hay \( k \in \mathbb{Z} \)).

Giải thích: Lý do chúng ta có hai họ nghiệm này xuất phát từ tính chất của hàm số sin trên đường tròn đơn vị. Hai góc có cùng giá trị sin khi chúng có điểm cuối trên đường tròn đơn vị đối xứng nhau qua trục Oy. Điều này xảy ra khi hai góc đó bằng nhau (hoặc hơn kém một bội số của \( 2\pi \)) hoặc tổng của chúng bằng \( \pi \) (hoặc hơn kém một bội số của \( 2\pi \)).

Bước 2: Xác định giá trị \( \alpha \) trong phương trình đã cho.

So sánh phương trình \( \sin x = \sin(-2) \) với dạng tổng quát \( \sin x = \sin \alpha \), ta thấy rõ ràng rằng \( \alpha = -2 \).

(Lưu ý rằng góc \( -2 \) ở đây được hiểu là \( -2 \) radian, vì không có ký hiệu độ \( ^\circ \)).

Bước 3: Áp dụng công thức nghiệm tổng quát.

Thay \( \alpha = -2 \) vào công thức nghiệm tổng quát, ta được:

\[ \begin{cases} x = -2 + k2\pi \\ x = \pi – (-2) + k2\pi \end{cases} \]

Bước 4: Rút gọn các biểu thức nghiệm.

Chúng ta cần rút gọn biểu thức trong họ nghiệm thứ hai:

\( \pi – (-2) = \pi + 2 \)

Vậy, hệ nghiệm của phương trình sẽ là:

\[ \begin{cases} x = -2 + k2\pi \\ x = \pi + 2 + k2\pi \end{cases} \]

Với \( k \in \mathbb{Z} \).

Kết luận:

Vậy, nghiệm của phương trình \( \sin x = \sin(-2) \) là:

\[ x = -2 + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi + 2 + k2\pi \]

Trong đó \( k \) là một số nguyên bất kỳ.

Chúc các em học tốt!