Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán lượng giác quen thuộc trong chương trình Toán lớp 11. Các em đã sẵn sàng chưa nào?

Chúng ta sẽ giải bài toán tìm nghiệm của phương trình: 2cosx + 1 = 0 trên đoạn [0 ; 2pi].

Bước 1: Cô lập hàm lượng giác cosx

Để giải phương trình này, trước tiên, cô trò mình cần cô lập hàm cosx.

Ta có phương trình ban đầu là:
2cosx + 1 = 0

Chuyển số 1 sang vế phải và đổi dấu:
2cosx = -1

Chia cả hai vế cho 2 để có giá trị của cosx:
cosx = -1/2

Bước 2: Tìm các góc lượng giác có cosin bằng -1/2

Bây giờ, chúng ta cần tìm những góc mà khi lấy cosin của nó sẽ bằng -1/2. Các em còn nhớ giá trị đặc biệt này không? Chúng ta đã học trong phần giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

Ta biết rằng cos(2pi/3) = -1/2.
Do tính chất tuần hoàn của hàm cosin, nếu cosx = cosa, thì các nghiệm của x sẽ có dạng:
x = a + k*2pi hoặc x = -a + k*2pi, với k là số nguyên.

Áp dụng vào bài toán của mình, ta có a = 2pi/3.
Vậy, các nghiệm tổng quát của phương trình cosx = -1/2 là:
x = 2pi/3 + k*2pi
hoặc
x = -2pi/3 + k*2pi

trong đó k là một số nguyên (k ∈ Z).

Bước 3: Xét nghiệm trên đoạn [0 ; 2pi]

Đề bài yêu cầu chúng ta chỉ tìm nghiệm trên đoạn [0 ; 2pi]. Nghĩa là chúng ta cần chọn các giá trị của k sao cho x nằm trong khoảng này.

Chúng ta sẽ xét từng trường hợp nghiệm:

* Trường hợp 1: x = 2pi/3 + k*2pi

Ta cần 0 ≤ 2pi/3 + k*2pi ≤ 2pi.
Chia cả ba vế của bất đẳng thức cho pi (vì pi > 0):
0 ≤ 2/3 + 2k ≤ 2

Trừ 2/3 cho cả ba vế:
0 – 2/3 ≤ 2k ≤ 2 – 2/3
-2/3 ≤ 2k ≤ 4/3

Chia cả ba vế cho 2:
-1/3 ≤ k ≤ 2/3

Vì k là số nguyên, nên giá trị nguyên duy nhất thỏa mãn bất đẳng thức này là k = 0.
Với k = 0, ta có nghiệm:
x = 2pi/3 + 0*2pi = 2pi/3.

* Trường hợp 2: x = -2pi/3 + k*2pi

Ta cần 0 ≤ -2pi/3 + k*2pi ≤ 2pi.
Chia cả ba vế của bất đẳng thức cho pi:
0 ≤ -2/3 + 2k ≤ 2

Cộng 2/3 cho cả ba vế:
0 + 2/3 ≤ 2k ≤ 2 + 2/3
2/3 ≤ 2k ≤ 8/3

Chia cả ba vế cho 2:
1/3 ≤ k ≤ 4/3

Vì k là số nguyên, nên giá trị nguyên duy nhất thỏa mãn bất đẳng thức này là k = 1.
Với k = 1, ta có nghiệm:
x = -2pi/3 + 1*2pi = -2pi/3 + 6pi/3 = 4pi/3.

Bước 4: Kết luận

Sau khi xét các trường hợp và tìm được các giá trị của k, chúng ta đã tìm được các nghiệm của phương trình trên đoạn [0 ; 2pi].

Các nghiệm là: x = 2pi/3 và x = 4pi/3.

Vậy, tập nghiệm của phương trình 2cosx + 1 = 0 trên đoạn [0 ; 2pi] là {2pi/3 ; 4pi/3}.

Các em thấy đấy, bài toán này không hề khó nếu chúng ta nắm vững kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản và cách xét nghiệm trên một khoảng cho trước.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi cô nhé!