Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài tập này nhé. Đây là một dạng bài tập kết hợp các công thức biến đổi lượng giác để đưa về phương trình cơ bản. Chúng ta sẽ làm từng bước một cách cẩn thận.

Bước 1: Biến đổi phương trình ban đầu

Phương trình của chúng ta là \(sin5x + 2cos^2x = 1\).

Ta thấy phương trình vừa chứa sin, vừa chứa cos, lại có các góc khác nhau (\(5x\) và \(x\)). Mục tiêu của chúng ta là đưa phương trình này về một dạng phương trình lượng giác cơ bản mà chúng ta đã học.

Hãy thử chuyển vế để nhóm \(2cos^2x\) và \(1\) lại với nhau:
\[sin5x = 1 – 2cos^2x\]

Bước 2: Sử dụng công thức lượng giác quen thuộc

Các em có nhớ công thức góc nhân đôi của hàm cos không? Chúng ta có công thức:
\[cos2\alpha = 2cos^2\alpha – 1\]
Nhìn vào vế phải của phương trình ở Bước 1, ta thấy \(1 – 2cos^2x\). Biểu thức này rất giống với công thức góc nhân đôi. Ta có thể biến đổi nó như sau:
\[1 – 2cos^2x = -(2cos^2x – 1)\]
Thay công thức góc nhân đôi \(cos2x = 2cos^2x – 1\) vào, ta được:
\[1 – 2cos^2x = -cos2x\]
Vậy, phương trình ban đầu trở thành:
\[sin5x = -cos2x\]

Bước 3: Đưa phương trình về dạng \(sinA = sinB\)

Phương trình của chúng ta hiện tại là \(sin5x = -cos2x\). Để giải được, chúng ta cần đưa cả hai vế về cùng một hàm số (cùng là sin hoặc cùng là cos).

Ta sẽ sử dụng công thức liên quan giữa sin và cos của hai góc phụ nhau: \(cos\alpha = sin(\frac{\pi}{2} – \alpha)\).
Áp dụng vào phương trình, ta có:
\[-cos2x = -sin(\frac{\pi}{2} – 2x)\]
Tiếp theo, ta sử dụng tính chất của hàm sin là \( -sin\beta = sin(-\beta) \). Vậy:
\[-sin(\frac{\pi}{2} – 2x) = sin(-(\frac{\pi}{2} – 2x)) = sin(2x – \frac{\pi}{2})\]
Lúc này, phương trình đã có dạng \(sinA = sinB\) rất quen thuộc:
\[sin5x = sin(2x – \frac{\pi}{2})\]

Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản

Áp dụng công thức nghiệm cho phương trình \(sinA = sinB\), ta có hai trường hợp:
\[ A = B + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad A = \pi – B + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Thay \(A = 5x\) và \(B = 2x – \frac{\pi}{2}\) vào, ta được:

Trường hợp 1:
\[5x = 2x – \frac{\pi}{2} + k2\pi\]
\[3x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi\]
\[x = -\frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3}\]

Trường hợp 2:
\[5x = \pi – (2x – \frac{\pi}{2}) + k2\pi\]
\[5x = \pi – 2x + \frac{\pi}{2} + k2\pi\]
\[7x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi\]
\[x = \frac{3\pi}{14} + \frac{k2\pi}{7}\]

Bước 5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất

Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị \(x > 0\) nhỏ nhất từ hai họ nghiệm trên bằng cách thử các giá trị nguyên của \(k\).

Với họ nghiệm thứ nhất: \(x = -\frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3}\).
Ta cần \(x > 0\), tức là \(-\frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3} > 0 \Leftrightarrow \frac{k2}{3} > \frac{1}{6} \Leftrightarrow k > \frac{1}{4}\).
Vì \(k\) là số nguyên, giá trị nhỏ nhất của \(k\) là \(k=1\).
Khi \(k=1\), ta có \(x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\).

Với họ nghiệm thứ hai: \(x = \frac{3\pi}{14} + \frac{k2\pi}{7}\).
Ta cần \(x > 0\), tức là \(\frac{3\pi}{14} + \frac{k2\pi}{7} > 0 \Leftrightarrow \frac{2k}{7} > -\frac{3}{14} \Leftrightarrow k > -\frac{3}{4}\).
Vì \(k\) là số nguyên, giá trị nhỏ nhất của \(k\) là \(k=0\).
Khi \(k=0\), ta có \(x = \frac{3\pi}{14}\).

Bây giờ ta so sánh hai nghiệm dương tìm được: \(x_1 = \frac{\pi}{2}\) và \(x_2 = \frac{3\pi}{14}\).
Ta có \(\frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{14}\).
Vì \(\frac{3\pi}{14} < \frac{7\pi}{14}\), nên nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x = \frac{3\pi}{14}\). Bước 6: Tính tổng S

Theo đề bài, nghiệm dương nhỏ nhất có dạng \(\pi\frac{a}{b}\) với \(a, b\) là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau.
Ta có nghiệm là \(x = \frac{3\pi}{14} = \pi\frac{3}{14}\).
So sánh với dạng của đề bài, ta có \(a=3\) và \(b=14\).

Kiểm tra điều kiện:
– \(a, b\) là các số nguyên: Đúng, 3 và 14 là số nguyên.
– \(a, b\) nguyên tố cùng nhau: Đúng, vì 3 là số nguyên tố và 14 không chia hết cho 3. Ước chung lớn nhất của chúng là 1.

Cuối cùng, ta tính tổng \(S = a + b\).
\[S = 3 + 14 = 17\]

Vậy đáp án cuối cùng của bài toán là \(S=17\).

Chúc các em học tốt