Chào các em học sinh thân mến, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị về phương trình lượng giác. Đề bài yêu cầu tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin5x + 2cos^2x = 1 và biểu diễn nó dưới dạng pi*a/b, sau đó tính S = a + b. Bài toán này nằm trong chương trình Toán lớp 10, thuộc phần Phương trình lượng giác. Các em có thể gặp dạng bài này trong cả ba bộ sách giáo khoa mới: Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo và Cánh diều.

Chúng ta sẽ bắt đầu bài giải từng bước một nhé.

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng chỉ chứa một hàm lượng giác.
Phương trình đã cho là: sin5x + 2cos^2x = 1.
Chúng ta nhận thấy có cả sin và cos. Để giải phương trình lượng giác, việc đưa về một loại hàm là rất quan trọng. Chúng ta sẽ sử dụng công thức lượng giác quen thuộc để biến đổi cos^2x.
Ta có công thức: cos^2x = (1 + cos2x) / 2.
Thay công thức này vào phương trình ban đầu:
sin5x + 2 * ((1 + cos2x) / 2) = 1
sin5x + 1 + cos2x = 1
sin5x + cos2x = 0
sin5x = -cos2x

Bước 2: Biến đổi về dạng phương trình sin(A) = sin(B).
Để đưa phương trình sin5x = -cos2x về dạng sin(A) = sin(B), chúng ta cần biến đổi -cos2x thành dạng sin của một góc nào đó.
Chúng ta biết rằng -cos(alpha) = sin(alpha – pi/2) hoặc -cos(alpha) = sin(pi/2 – alpha).
Ở đây, ta sẽ chọn cách biến đổi -cos2x thành sin của một góc khác. Một cách phổ biến là sử dụng công thức phụ nhau: cos(alpha) = sin(pi/2 – alpha).
Do đó, -cos2x = -sin(pi/2 – 2x).
Tuy nhiên, chúng ta cần có dạng sin(góc) chứ không phải -sin(góc). Chúng ta có thể sử dụng tính chất sin đối: -sin(y) = sin(-y).
Vậy, -cos2x = sin(pi/2 – 2x) * (-1) = -sin(pi/2 – 2x).
Đây chưa phải là dạng sin(góc).
Ta sử dụng công thức: -cos(alpha) = sin(alpha – pi/2).
Vậy, -cos2x = sin(2x – pi/2).
Phương trình trở thành:
sin5x = sin(2x – pi/2)

Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản.
Khi có dạng sin(A) = sin(B), nghiệm tổng quát được cho bởi hai trường hợp:
Trường hợp 1: A = B + k2pi, với k là số nguyên.
5x = 2x – pi/2 + k2pi
3x = -pi/2 + k2pi
x = -pi/6 + k(2pi/3)

Trường hợp 2: A = pi – B + k2pi, với k là số nguyên.
5x = pi – (2x – pi/2) + k2pi
5x = pi – 2x + pi/2 + k2pi
5x = 3pi/2 – 2x + k2pi
7x = 3pi/2 + k2pi
x = 3pi/14 + k(2pi/7)

Bước 4: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất.
Chúng ta cần tìm nghiệm dương nhỏ nhất từ hai họ nghiệm trên.
Xét họ nghiệm thứ nhất: x = -pi/6 + k(2pi/3)
Để x > 0, ta cần -pi/6 + k(2pi/3) > 0.
k(2pi/3) > pi/6
k * 4/3 > 1/2 (chia cả hai vế cho pi)
k > (1/2) * (3/4)
k > 3/8
Vì k là số nguyên, giá trị nguyên nhỏ nhất của k thỏa mãn là k = 1.
Khi k = 1, x = -pi/6 + 1 * (2pi/3) = -pi/6 + 4pi/6 = 3pi/6 = pi/2.

Xét họ nghiệm thứ hai: x = 3pi/14 + k(2pi/7)
Để x > 0, ta cần 3pi/14 + k(2pi/7) > 0.
k(2pi/7) > -3pi/14
k * 2/7 > -3/14 (chia cả hai vế cho pi)
k > (-3/14) * (7/2)
k > -3/4
Vì k là số nguyên, giá trị nguyên nhỏ nhất của k thỏa mãn là k = 0.
Khi k = 0, x = 3pi/14 + 0 * (2pi/7) = 3pi/14.

Bây giờ chúng ta so sánh hai nghiệm dương nhỏ nhất tìm được: pi/2 và 3pi/14.
Ta quy đồng mẫu số:
pi/2 = 7pi/14
3pi/14 < 7pi/14 Vậy, nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là 3pi/14. Bước 5: Biểu diễn nghiệm dưới dạng pi*a/b và tính S = a + b. Nghiệm dương nhỏ nhất là 3pi/14. Đề bài yêu cầu nghiệm có dạng pi*a/b, với a, b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Ta có: 3pi/14 = pi * (3/14). Vậy, a = 3 và b = 14. Ta kiểm tra xem a = 3 và b = 14 có nguyên tố cùng nhau không. Ước chung lớn nhất của 3 và 14 là 1, nên chúng nguyên tố cùng nhau. Cuối cùng, chúng ta tính S = a + b. S = 3 + 14 = 17. Vậy, nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là 3pi/14. Giá trị của S = a + b là 17. Các em thấy không, chỉ cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và quy tắc giải phương trình lượng giác, chúng ta có thể dễ dàng giải quyết bài toán này. Quan trọng là phải thực hiện các bước một cách cẩn thận và chính xác. Hẹn gặp lại các em trong những bài tập tiếp theo!