nghiệm lớn nhất của phương trình: 2cos2x-1=0 trong đoạn [0;π]
Bước 1: Rút gọn phương trình về dạng cơ bản của cosx
Trước hết, chúng ta cần đưa phương trình đã cho về dạng cos(u) = a.
Phương trình ban đầu là: 2cos(2x) – 1 = 0.
Chuyển vế và chia cho 2, ta được:
cos(2x) = 1/2.
Lý do: Chúng ta muốn đưa phương trình về dạng quen thuộc để có thể áp dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình cos(u) = a.
Bước 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình cos(2x) = 1/2
Chúng ta biết rằng, nếu cos(u) = cos(α), thì nghiệm tổng quát sẽ là u = ±α + k2π, với k là số nguyên bất kỳ.
Ở đây, ta cần tìm một góc α sao cho cos(α) = 1/2.
Chúng ta đều biết góc cơ bản trong lượng giác là π/3 có cosin bằng 1/2.
Vậy, ta có thể viết: cos(2x) = cos(π/3).
Áp dụng công thức nghiệm tổng quát, ta có:
2x = ±π/3 + k2π, với k ∈ Z.
Lý do: Đây là công thức nghiệm cơ bản cho phương trình lượng giác dạng cos(u) = a.
Bước 3: Tìm nghiệm x theo k
Từ biểu thức nghiệm của 2x, ta chia cả hai vế cho 2 để tìm nghiệm x:
Trường hợp 1: 2x = π/3 + k2π
=> x = π/6 + kπ, với k ∈ Z.
Trường hợp 2: 2x = -π/3 + k2π
=> x = -π/6 + kπ, với k ∈ Z.
Lý do: Chúng ta đang tìm giá trị của x, nên cần cô lập x từ phương trình nghiệm của 2x.
Bước 4: Tìm các nghiệm x thỏa mãn đoạn [0; π]
Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt xét hai trường hợp nghiệm và tìm các giá trị của k để x nằm trong đoạn [0; π].
Trường hợp 1: x = π/6 + kπ
Ta cần: 0 ≤ π/6 + kπ ≤ π.
Chia cả ba vế cho π (vì π > 0 nên chiều bất đẳng thức không đổi):
0 ≤ 1/6 + k ≤ 1.
Trừ 1/6 ở cả ba vế:
-1/6 ≤ k ≤ 1 – 1/6.
-1/6 ≤ k ≤ 5/6.
Vì k là số nguyên, nên giá trị nguyên duy nhất thỏa mãn là k = 0.
Khi k = 0, ta có x = π/6 + 0 * π = π/6.
Trường hợp 2: x = -π/6 + kπ
Ta cần: 0 ≤ -π/6 + kπ ≤ π.
Chia cả ba vế cho π:
0 ≤ -1/6 + k ≤ 1.
Cộng 1/6 vào cả ba vế:
1/6 ≤ k ≤ 1 + 1/6.
1/6 ≤ k ≤ 7/6.
Vì k là số nguyên, nên giá trị nguyên duy nhất thỏa mãn là k = 1.
Khi k = 1, ta có x = -π/6 + 1 * π = -π/6 + π = 5π/6.
Lý do: Chúng ta đã tìm được nghiệm tổng quát, giờ cần lọc ra những nghiệm cụ thể nằm trong khoảng yêu cầu của đề bài.
Bước 5: Xác định nghiệm lớn nhất
Các nghiệm của phương trình trong đoạn [0; π] mà chúng ta tìm được là:
x = π/6
x = 5π/6
Bây giờ, chúng ta so sánh hai giá trị này để tìm nghiệm lớn nhất.
Ta thấy: π/6 < 5π/6.
Lý do: Đề bài yêu cầu tìm nghiệm lớn nhất, nên sau khi tìm được tất cả các nghiệm trong đoạn, chúng ta cần chọn ra nghiệm lớn nhất.
Kết luận:
Nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos2x – 1 = 0 trong đoạn [0; π] là 5π/6.
Chúc các em học tốt!
Đáp án:
\(x= \dfrac{5\pi}{6}\)
Giải thích các bước giải:
\(2\cos 2x-1=0\\ \Rightarrow \cos 2x=\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \cos 2x=\cos\dfrac{\pi}{3}\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} 2x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})\\2x=-\dfrac{\pi}{3}+l2\pi (l \in \mathbb{Z})\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi (k \in \mathbb{Z})\\x=-\dfrac{\pi}{6}+l\pi (l \in \mathbb{Z})\end{array} \right.\\ \text{Xét }x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi (k \in \mathbb{Z})\\ x \in [0;\pi]\\ \Rightarrow 0 \le \dfrac{\pi}{6}+k\pi \le \pi\\ \Rightarrow -\dfrac{\pi}{6} \le k\pi \le \dfrac{5\pi}{6}\\ \Rightarrow -\dfrac{1}{6} \le k \le \dfrac{5}{6}\\ k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k=0 \Rightarrow x= \dfrac{\pi}{6}\\ \text{Xét }x=-\dfrac{\pi}{6}+l\pi (l \in \mathbb{Z})\\ x \in [0;\pi]\\ \Rightarrow 0 \le -\dfrac{\pi}{6}+l\pi \le \pi\\ \Rightarrow \dfrac{\pi}{6} \le l\pi \le \dfrac{7\pi}{6}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{6} \le l \le \dfrac{7}{6}\\ l \in \mathbb{Z} \Rightarrow l=1 \Rightarrow x= \dfrac{5\pi}{6}\)
Vậy \(x= \dfrac{5\pi}{6}\) là nghiệm lớn nhất của phương trình trong đoạn \([0;\pi].\)
Đáp án:
\(x=(5pi)/6\)
Giải thích các bước giải:
\(2cos2x-1=0\)
\(<=>cos2x=1/2\)
\(=>[(2x=pi/3+k2pi),(2x=-pi/3+k2pi):}\)
\(=>[(x=pi/6+kpi),(x=-pi/6+kpi):}\)
Xét nghiệm
\(x=pi/6+kpi\) trên khỏang \([0;pi]\)
\(=>k=0=>x=pi/6 ∈[0;pi]\)
Xét nghiệm
\(x=-pi/6+kpi\) trên khoảng \([0;pi]\)
\(=>k=1=>x=(5pi)/6\)
Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình là \(x=(5pi)/6\)