Trước hết, các em hãy cùng đọc kỹ đề bài nhé. Chúng ta có một khu đất hình chữ nhật và 180m hàng rào để rào xung quanh. Điều đặc biệt là một cạnh của khu đất này sẽ tận dụng bờ giậu có sẵn, nghĩa là chúng ta chỉ cần rào 3 cạnh còn lại. Yêu cầu của bài toán là tìm kích thước của hình chữ nhật sao cho diện tích thu được là lớn nhất, và tính giá trị diện tích lớn nhất đó.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi từng bước để giải bài toán này.

Bước 1: Xác định các đại lượng cần tìm và đặt ẩn

Đầu tiên, chúng ta cần hình dung khu đất của chúng ta. Nó có dạng hình chữ nhật. Gọi chiều dài của khu đất là \(a\) (mét) và chiều rộng của khu đất là \(b\) (mét).

Do khu đất có dạng hình chữ nhật và có một cạnh là bờ giậu có sẵn, nên chúng ta sẽ cần rào ba cạnh còn lại. Giả sử, bờ giậu là một cạnh có chiều dài là \(a\). Vậy chúng ta sẽ cần rào hai cạnh có chiều dài là \(b\) và một cạnh có chiều dài là \(a\).

Theo đề bài, chúng ta có tổng chiều dài hàng rào là 180m. Vậy, ta có phương trình sau:
\(a + 2b = 180\) (1)

Diện tích của khu đất hình chữ nhật được tính bằng công thức:
\(S = a \times b\) (2)

Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(S\).

Bước 2: Biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại và đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất của một hàm số bậc hai

Từ phương trình (1), chúng ta có thể biểu diễn \(a\) theo \(b\) (hoặc ngược lại). Thầy chọn biểu diễn \(a\) theo \(b\):
\(a = 180 – 2b\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức của \(a\) này vào công thức tính diện tích \(S\) (phương trình 2):
\(S = (180 – 2b) \times b\)
\(S = 180b – 2b^2\)

Chúng ta đã đưa được diện tích \(S\) về dạng một hàm số theo biến \(b\). Đây là một hàm số bậc hai:
\(S(b) = -2b^2 + 180b\)

Để tìm diện tích lớn nhất, chúng ta cần xem xét hàm số bậc hai này. Trước hết, ta cần xác định điều kiện cho biến \(b\).
Vì \(b\) là chiều rộng của khu đất, nên \(b > 0\).
Mặt khác, \(a = 180 – 2b\). Vì \(a\) cũng là chiều dài, nên \(a > 0\), suy ra \(180 – 2b > 0\), hay \(2b < 180\), tức là \(b < 90\). Vậy, điều kiện của \(b\) là \(0 < b < 90\). Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai

Hàm số chúng ta có là \(S(b) = -2b^2 + 180b\). Đây là một parabol có hệ số \(a’ = -2\) (hệ số của \(b^2\)) âm. Do đó, parabol này có đỉnh nằm phía trên trục hoành và bề lõm quay xuống dưới. Giá trị lớn nhất của hàm số chính là tung độ đỉnh của parabol.

Hoành độ đỉnh của parabol \(y = Ax^2 + Bx + C\) được tính bằng công thức \(x = -\frac{B}{2A}\).
Trong trường hợp của chúng ta, \(S(b) = -2b^2 + 180b\), ta có \(A = -2\) và \(B = 180\).
Vậy, hoành độ đỉnh (tức là giá trị của \(b\) để \(S\) đạt giá trị lớn nhất) là:
\(b = -\frac{180}{2 \times (-2)} = -\frac{180}{-4} = 45\)

Giá trị \(b = 45\) này thỏa mãn điều kiện \(0 < b < 90\) của chúng ta. Bây giờ, chúng ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của diện tích \(S\) bằng cách thay \(b = 45\) vào biểu thức của \(S(b)\): \(S_{max} = -2 \times (45)^2 + 180 \times 45\) \(S_{max} = -2 \times 2025 + 8100\) \(S_{max} = -4050 + 8100\) \(S_{max} = 4050\) Vậy, diện tích lớn nhất có thể đạt được là 4050 mét vuông. Bước 4: Tìm kích thước của khu đất tương ứng với diện tích lớn nhất

Chúng ta đã tìm được chiều rộng \(b = 45\) mét. Bây giờ, chúng ta sẽ tìm chiều dài \(a\) tương ứng bằng cách sử dụng mối liên hệ \(a = 180 – 2b\):
\(a = 180 – 2 \times 45\)
\(a = 180 – 90\)
\(a = 90\)

Vậy, để có diện tích lớn nhất, khu đất hình chữ nhật cần có chiều dài là 90 mét và chiều rộng là 45 mét.

Kết luận:

Để rào khu đất theo hình chữ nhật sao cho có diện tích lớn nhất, ta cần chọn chiều dài là 90 mét và chiều rộng là 45 mét. Khi đó, diện tích lớn nhất thu được là 4050 mét vuông.

Các em thấy đấy, bằng cách vận dụng kiến thức về hàm số bậc hai, chúng ta có thể giải quyết những bài toán thực tế rất hiệu quả. Các em hãy ôn lại bài này và thử áp dụng với những con số khác nhé!