Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm nguyên hàm rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán 12 của chúng ta nhé. Bài toán này sẽ giúp các em củng cố kiến thức về lũy thừa và công thức nguyên hàm cơ bản của hàm số mũ.

Đề bài yêu cầu chúng ta tìm nguyên hàm của hàm số:

\[ f(x) = 2^{3x} \cdot 3^{2x} \]

Để tìm nguyên hàm của hàm số này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau đây:

Bước 1: Biến đổi biểu thức của hàm số \(f(x)\) về dạng cơ bản hơn.

Chúng ta nhận thấy rằng hàm số \(f(x)\) đang ở dạng tích của hai lũy thừa với cơ số khác nhau nhưng số mũ có thể biến đổi để có dạng \(a^x\).

Áp dụng công thức lũy thừa \( (a^m)^n = a^{mn} \), ta có thể viết lại từng số hạng:

Đối với số hạng \(2^{3x}\):

\[ 2^{3x} = (2^3)^x = 8^x \]

Đối với số hạng \(3^{2x}\):

\[ 3^{2x} = (3^2)^x = 9^x \]

Vậy, hàm số \(f(x)\) lúc này có thể viết lại thành:

\[ f(x) = 8^x \cdot 9^x \]

Tiếp theo, chúng ta sẽ áp dụng công thức lũy thừa \( a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m \). Trong trường hợp này, \(m\) chính là \(x\).

\[ f(x) = (8 \cdot 9)^x = 72^x \]

Như vậy, hàm số \(f(x)\) ban đầu đã được biến đổi về dạng đơn giản hơn là \(f(x) = 72^x\).

Bước 2: Áp dụng công thức tìm nguyên hàm của hàm số mũ.

Chúng ta đã biết công thức tìm nguyên hàm của hàm số mũ có dạng \(a^x\) là:

\[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \]

Trong đó, \(a\) là một hằng số dương và \(a \neq 1\), còn \(C\) là hằng số tích phân (hằng số tùy ý).

Với hàm số \(f(x) = 72^x\), ta có \(a = 72\).

Áp dụng công thức trên, nguyên hàm của \(f(x)\) sẽ là:

\[ \int 72^x \, dx = \frac{72^x}{\ln 72} + C \]

Vậy, nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2^{3x} \cdot 3^{2x}\) là \(F(x) = \frac{72^x}{\ln 72} + C\).

Kết luận:

Qua bài toán này, các em đã cùng thầy ôn lại cách biến đổi các biểu thức lũy thừa phức tạp về dạng đơn giản hơn, cũng như áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản của hàm số mũ. Hãy luôn nhớ rằng, việc nắm vững các công thức và tính chất cơ bản là chìa khóa để giải quyết những bài toán khó hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để ghi nhớ và thành thạo các kiến thức này nhé!

Chúc các em học tốt!