Nguyên hàm Dx trên (xlnx)
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập về nguyên hàm, nằm trong chương trình Toán lớp 12 của chúng ta. Bài tập này sẽ giúp các em củng cố lại kiến thức về phương pháp đổi biến số, một trong những kỹ thuật quan trọng nhất khi tìm nguyên hàm.
Chúng ta sẽ đi tìm nguyên hàm của hàm số được cho bởi biểu thức 1/(x ln x) dx.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến số.
Bước 1: Quan sát biểu thức dưới dấu tích phân và lựa chọn phép đổi biến phù hợp.
Chúng ta thấy trong biểu thức có ln x và x. Nếu chúng ta đặt u = ln x, thì vi phân của u, tức là du, sẽ liên quan đến dx/x.
Cụ thể, nếu ta đặt:
u = ln x
Thì, lấy vi phân hai vế, ta có:
du = d(ln x)
Theo quy tắc tính vi phân của hàm số hợp, ta có:
du = (ln x)’ dx
du = (1/x) dx
Bước 2: Thực hiện phép đổi biến trong biểu thức nguyên hàm.
Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế các biểu thức trong tích phân ban đầu bằng biến mới u và du.
Ta có biểu thức ban đầu là:
\(\int \frac{1}{x \ln x} dx\)
Chúng ta có thể viết lại biểu thức này một chút để dễ nhìn hơn:
\(\int \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx\)
Từ phép đổi biến ở Bước 1, chúng ta đã có:
– u = ln x
– du = (1/x) dx
Thay thế vào biểu thức nguyên hàm, ta được:
\(\int \frac{1}{u} du\)
Bước 3: Tính nguyên hàm của biểu thức theo biến mới.
Bây giờ, chúng ta cần tính nguyên hàm của 1/u theo biến u. Đây là một công thức nguyên hàm cơ bản mà chúng ta đã học:
\(\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C\)
Trong đó, C là hằng số nguyên hàm.
Bước 4: Thay biến trở lại để có kết quả theo biến ban đầu.
Chúng ta đã hoàn thành việc tính nguyên hàm theo biến u. Bước cuối cùng là thay u bằng biểu thức ban đầu theo x.
Chúng ta đã đặt u = ln x. Do đó, ta thay u bằng ln x vào kết quả vừa tìm được:
\(\ln |u| + C = \ln |\ln x| + C\)
Vậy, nguyên hàm của hàm số 1/(x ln x) dx là ln |ln x| + C.
Kết luận:
\(\int \frac{1}{x \ln x} dx = \ln |\ln x| + C\)
Hy vọng với cách trình bày chi tiết từng bước như thế này, các em đã hiểu rõ hơn về cách giải bài toán tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. Các em hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để thành thạo hơn nhé!
Ta có
\(\int \dfrac{dx}{xlnx} = \int \dfrac{1}{lnx} . \dfrac{1}{x} dx\)
Đặt \(t = \ln x\), khi đó \(dt = d(\ln x) = (\ln x)’ dx = \dfrac{1}{x} dx\). Vậy nguyên hàm trở thành
\(\int \dfrac{dx}{xlnx} = \int \dfrac{1}{t} dt\)
\(= \ln t + c\)
THay giá trị của \(t\) vào ta có
\(\int \dfrac{dx}{xlnx} = \ln (\ln x) + c\)