Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong buổi học hôm nay, nơi chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục những bài toán về Nguyên hàm, một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12.

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm nguyên hàm của một hàm số đặc biệt, kết hợp cả hàm mũ với cơ số e và hàm mũ với cơ số là một số khác. Bài tập của chúng ta là tìm nguyên hàm của biểu thức \( e^{3x} \cdot 3^x \).

Chúng ta sẽ tiến hành bài toán này một cách chi tiết, từng bước một, bám sát kiến thức đã học trong Sách giáo khoa.

Bước 1: Biến đổi biểu thức dưới dấu nguyên hàm về dạng quen thuộc.

Nhìn vào biểu thức \( e^{3x} \cdot 3^x \), chúng ta thấy có hai lũy thừa. Để có thể áp dụng các công thức nguyên hàm đã học, chúng ta cần đưa chúng về cùng một cơ số hoặc cùng một số mũ.

Các em còn nhớ quy tắc về lũy thừa không?
Nếu có hai lũy thừa có cùng cơ số, ta có thể cộng hoặc trừ các số mũ.
Nếu có hai lũy thừa có cùng số mũ, ta có thể nhân hoặc chia các cơ số.

Ở đây, chúng ta có cơ số \( e \) và cơ số \( 3 \). Chúng khác nhau. Tuy nhiên, chúng ta có thể biến đổi \( e^{3x} \) một chút.

Chúng ta biết rằng \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).
Vậy, \( e^{3x} = (e^3)^x \).

Khi đó, biểu thức của chúng ta trở thành:
\( (e^3)^x \cdot 3^x \)

Bây giờ, chúng ta thấy hai lũy thừa này có cùng số mũ là \( x \). Ta có thể áp dụng quy tắc: \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \).

Áp dụng quy tắc này, ta có:
\( (e^3)^x \cdot 3^x = (e^3 \cdot 3)^x \)

Vậy, biểu thức dưới dấu nguyên hàm đã được biến đổi thành \( (3e^3)^x \).
Đây là dạng hàm mũ \( a^x \) với \( a = 3e^3 \).

Bước 2: Áp dụng công thức tính nguyên hàm của hàm mũ.

Chúng ta đã học công thức tính nguyên hàm của hàm số dạng \( a^x \) như sau:
Cho \( a > 0 \) và \( a \neq 1 \).
Nguyên hàm của \( a^x \) là \( \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \), trong đó \( C \) là hằng số bất kỳ.

Trong bài toán của chúng ta, \( a = 3e^3 \).
Chúng ta cần kiểm tra xem \( a \) có thỏa mãn điều kiện của công thức không.
Vì \( e \approx 2.718 \), nên \( e^3 \) là một số dương lớn hơn 1.
Do đó, \( a = 3e^3 \) là một số dương lớn hơn 1.

Vậy, chúng ta có thể áp dụng trực tiếp công thức.

Nguyên hàm của \( (3e^3)^x \) là:
\( \int (3e^3)^x \, dx \)

Theo công thức, ta có:
\( \int (3e^3)^x \, dx = \frac{(3e^3)^x}{\ln(3e^3)} + C \)

Bước 3: Rút gọn biểu thức (nếu có thể).

Bây giờ, chúng ta xem xét mẫu số \( \ln(3e^3) \).
Chúng ta còn nhớ các tính chất của logarit không?
\( \ln(ab) = \ln a + \ln b \)

Áp dụng tính chất này, ta có:
\( \ln(3e^3) = \ln 3 + \ln(e^3) \)

Và chúng ta cũng nhớ rằng \( \ln(a^n) = n \ln a \).
Do đó, \( \ln(e^3) = 3 \ln e \).

Vì \( \ln e = 1 \), nên \( \ln(e^3) = 3 \cdot 1 = 3 \).

Thay vào biểu thức của mẫu số:
\( \ln(3e^3) = \ln 3 + 3 \)

Vậy, mẫu số của chúng ta là \( \ln 3 + 3 \).

Giờ chúng ta viết lại kết quả nguyên hàm đầy đủ:
\( \int e^{3x} \cdot 3^x \, dx = \frac{(3e^3)^x}{\ln 3 + 3} + C \)

Chúng ta cũng có thể viết lại tử số \( (3e^3)^x \) như sau:
\( (3e^3)^x = 3^x \cdot (e^3)^x = 3^x \cdot e^{3x} \).
Việc viết lại tử số này chỉ để khẳng định chúng ta đã quay về đúng biểu thức ban đầu sau khi lấy nguyên hàm, chứ không làm thay đổi kết quả.

Do đó, kết quả cuối cùng của bài toán là:
\( \frac{(3e^3)^x}{\ln 3 + 3} + C \)

Hoặc chúng ta cũng có thể viết là:
\( \frac{3^x e^{3x}}{3 + \ln 3} + C \)

Vậy là chúng ta đã hoàn thành việc tìm nguyên hàm của biểu thức \( e^{3x} \cdot 3^x \) bằng cách áp dụng các quy tắc về lũy thừa và công thức nguyên hàm cơ bản.

Chúc các em ôn tập tốt và đạt kết quả cao trong học tập!