Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập nguyên hàm khá quen thuộc trong chương trình Toán lớp 12: nguyên hàm của tích các hàm lượng giác. Cụ thể, chúng ta sẽ đi tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin(2x)\cos(3x) \).

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ cần sử dụng một số công thức biến đổi lượng giác đã học. Các em còn nhớ công thức biến đổi tích thành tổng không? Chúng ta sẽ áp dụng công thức sau:

\[
\sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\sin(a-b) + \sin(a+b)]
\]

Áp dụng công thức này vào bài toán của chúng ta, với \( a = 2x \) và \( b = 3x \), ta có:

\( \sin(2x)\cos(3x) = \frac{1}{2}[\sin(2x-3x) + \sin(2x+3x)] \)
\( \sin(2x)\cos(3x) = \frac{1}{2}[\sin(-x) + \sin(5x)] \)

Các em lưu ý, hàm sin là hàm lẻ, tức là \( \sin(-x) = -\sin(x) \). Vậy ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\( \sin(2x)\cos(3x) = \frac{1}{2}[-\sin(x) + \sin(5x)] \)
\( \sin(2x)\cos(3x) = \frac{1}{2}[\sin(5x) – \sin(x)] \)

Bây giờ, chúng ta sẽ đi tìm nguyên hàm của biểu thức này. Việc tìm nguyên hàm của một tổng hoặc hiệu sẽ bằng tổng hoặc hiệu các nguyên hàm. Do đó, ta có:

\( \int \sin(2x)\cos(3x) dx = \int \frac{1}{2}[\sin(5x) – \sin(x)] dx \)
\( \int \sin(2x)\cos(3x) dx = \frac{1}{2} \int [\sin(5x) – \sin(x)] dx \)
\( \int \sin(2x)\cos(3x) dx = \frac{1}{2} \left( \int \sin(5x) dx – \int \sin(x) dx \right) \)

Bây giờ, chúng ta sẽ tính từng nguyên hàm một.

Nguyên hàm của \( \sin(x) \) là một kiến thức cơ bản mà chúng ta đã học:
\( \int \sin(x) dx = -\cos(x) + C \)

Đối với nguyên hàm của \( \sin(5x) \), chúng ta có thể sử dụng quy tắc đổi biến số hoặc nhớ công thức tổng quát:
\( \int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C \)

Áp dụng công thức này với \( a = 5 \) và \( b = 0 \), ta có:
\( \int \sin(5x) dx = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C \)

Bây giờ, chúng ta thay các kết quả nguyên hàm này vào biểu thức ban đầu:

\( \int \sin(2x)\cos(3x) dx = \frac{1}{2} \left( \left(-\frac{1}{5}\cos(5x)\right) – (-\cos(x)) \right) + C \)
\( \int \sin(2x)\cos(3x) dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{5}\cos(5x) + \cos(x) \right) + C \)

Cuối cùng, chúng ta phân phối \( \frac{1}{2} \) vào trong ngoặc:

\( \int \sin(2x)\cos(3x) dx = -\frac{1}{10}\cos(5x) + \frac{1}{2}\cos(x) + C \)

Vậy, nguyên hàm của \( \sin(2x)\cos(3x) \) là \( -\frac{1}{10}\cos(5x) + \frac{1}{2}\cos(x) + C \).

Các em thấy đấy, với việc nắm vững các công thức lượng giác và các quy tắc tính nguyên hàm cơ bản, chúng ta có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng. Các em hãy ôn lại các công thức biến đổi tích thành tổng và các nguyên hàm cơ bản của hàm lượng giác để làm tốt các bài tập tương tự nhé!