Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào một bài tập rất hay về động học phản ứng hóa học, thuộc chương Hóa học Lớp 12. Bài toán này yêu cầu chúng ta kết hợp kiến thức về chu kì bán hủy và phương trình Arrhenius để tính toán thời gian phản ứng.

Đầu tiên, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định những dữ kiện đã cho và yêu cầu cần tìm.

Dữ kiện đã cho:
– Phản ứng bậc 1.
– Ở \(T_1 = 378^\circ\text{C}\), chu kì bán hủy \({t_{1/2}}_1 = 363\) phút.
– Năng lượng hoạt hóa \(E_a = 52\) K.cal/mol.
– Cần tính thời gian để phản ứng hết 75% lượng ban đầu ở \(T_2 = 450^\circ\text{C}\).

Yêu cầu cần tìm: Thời gian phản ứng \(\Delta t\) để lượng chất phản ứng còn lại là 25% so với ban đầu ở \(450^\circ\text{C}\).

Bây giờ, chúng ta sẽ đi từng bước để giải bài toán này.

Bước 1: Chuyển đổi đơn vị nhiệt độ sang Kelvin.

Trong các công thức tính toán động học phản ứng, nhiệt độ luôn được biểu diễn bằng đơn vị Kelvin.
\(T_1 = 378^\circ\text{C} + 273 = 651\) K.
\(T_2 = 450^\circ\text{C} + 273 = 723\) K.

Bước 2: Tính hằng số tốc độ phản ứng ở \(T_1\).

Đối với phản ứng bậc 1, chu kì bán hủy \({t_{1/2}}\) và hằng số tốc độ k có mối liên hệ là:
\[k = \frac{\ln 2}{{t_{1/2}}}\]

Áp dụng công thức này cho điều kiện ở \(T_1\):
\(k_1 = \frac{\ln 2}{363 \text{ phút}}\).

Chúng ta có thể tính giá trị của \(k_1\), tuy nhiên, để giữ độ chính xác cho các bước tính toán tiếp theo, chúng ta có thể giữ nguyên biểu thức này hoặc tính toán sau. Tuy nhiên, vì đơn vị thời gian trong đề bài là phút và yêu cầu cũng mong đợi kết quả theo phút, chúng ta sẽ giữ nguyên đơn vị phút cho hằng số tốc độ.

Bước 3: Tính hằng số tốc độ phản ứng ở \(T_2\).

Để tính được hằng số tốc độ ở nhiệt độ khác, chúng ta sử dụng phương trình Arrhenius cho hai nhiệt độ:
\[\ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R} \left(\frac{1}{T_1} – \frac{1}{T_2}\right)\]

Trong đó:
– \(k_1\) và \(k_2\) là hằng số tốc độ ở nhiệt độ \(T_1\) và \(T_2\).
– \(E_a\) là năng lượng hoạt hóa.
– \(R\) là hằng số khí lý tưởng.

Trước hết, chúng ta cần chú ý đến đơn vị của \(E_a\) và \(R\). Năng lượng hoạt hóa cho là 52 K.cal/mol. Hằng số khí R có các giá trị khác nhau tùy thuộc vào đơn vị. Vì năng lượng hoạt hóa cho bằng K.cal, chúng ta sẽ sử dụng giá trị của R tương ứng: \(R = 2\) K.cal/mol.K.

Bây giờ, chúng ta thay các giá trị đã biết vào phương trình Arrhenius:
\[\ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{52 \text{ K.cal/mol}}{2 \text{ K.cal/mol.K}} \left(\frac{1}{651 \text{ K}} – \frac{1}{723 \text{ K}}\right)\]
\[\ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right) = 26 \left(\frac{723 – 651}{651 \times 723}\right)\]
\[\ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right) = 26 \left(\frac{72}{470553}\right)\]
\[\ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right) \approx 26 \times 0.00015299 \approx 0.0039777\]

Để tìm tỉ lệ \(k_2/k_1\), chúng ta lấy lũy thừa cơ số e của cả hai vế:
\[\frac{k_2}{k_1} = e^{0.0039777} \approx 1.003985\]

Bây giờ, chúng ta có thể tính \(k_2\):
\(k_2 = k_1 \times 1.003985\)
\(k_2 = \frac{\ln 2}{363 \text{ phút}} \times 1.003985\)
\(k_2 \approx \frac{0.6931}{363} \times 1.003985 \approx 0.00191 \text{ phút}^{-1}\)

Bước 4: Tính thời gian để phản ứng hết 75% lượng ban đầu.

Phản ứng hết 75% lượng ban đầu có nghĩa là lượng chất phản ứng còn lại là 100% – 75% = 25%.
Đối với phản ứng bậc 1, mối liên hệ giữa nồng độ ban đầu \({[A]_0}\), nồng độ còn lại \({[A]_t}\) và hằng số tốc độ k theo thời gian t là:
\[\ln \left(\frac{[A]_0}{[A]_t}\right) = kt\]

Ở đây, \({[A]_t} = 0.25 [A]_0\). Do đó, tỉ lệ \(\frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{[A]_0}{0.25 [A]_0} = 4\).
Chúng ta cần tìm thời gian t ở nhiệt độ \(T_2 = 450^\circ\text{C}\) (tức là sử dụng \(k_2\)) để phản ứng đạt được mức này.
\[\ln (4) = k_2 t\]
\[t = \frac{\ln 4}{k_2}\]

Thay giá trị của \(k_2\) và \(\ln 4\) vào:
\(t = \frac{\ln 4}{0.00191 \text{ phút}^{-1}}\)
\(t \approx \frac{1.3863}{0.00191} \text{ phút}\)
\(t \approx 725.8 \text{ phút}\)

Hoặc chúng ta có thể sử dụng biểu thức chính xác hơn một chút cho \(k_2\):
\(t = \frac{\ln 4}{\frac{\ln 2}{363} \times 1.003985}\)
\(t = \frac{2 \ln 2 \times 363}{\ln 2 \times 1.003985}\)
\(t = \frac{2 \times 363}{1.003985} = \frac{726}{1.003985} \approx 723.16 \text{ phút}\)

Vậy, thời gian để phản ứng hết 75% lượng ban đầu ở \(450^\circ\text{C}\) là khoảng 723.16 phút.

Kiểm tra lại các bước làm:
– Đã chuyển đổi nhiệt độ sang Kelvin.
– Đã sử dụng đúng công thức liên hệ giữa chu kì bán hủy và hằng số tốc độ cho phản ứng bậc 1.
– Đã sử dụng đúng phương trình Arrhenius và chọn đúng giá trị R tương ứng với đơn vị năng lượng hoạt hóa.
– Đã xác định đúng tỉ lệ nồng độ còn lại khi phản ứng hết 75%.
– Đã sử dụng đúng công thức động học bậc 1 cho mối liên hệ nồng độ – thời gian.

Bài tập này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cách ảnh hưởng của nhiệt độ đến tốc độ phản ứng và cách sử dụng các công cụ toán học để dự đoán thời gian cần thiết cho một phản ứng đạt được mức độ chuyển hóa mong muốn.

Chúc các em học tốt môn Hóa học!