Chào em,
Thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết bài toán này theo kiến thức Toán lớp 11 nhé. Đây là một bài toán ứng dụng thực tế rất hay của bất phương trình mũ và logarit.

Chúng ta cùng nhau phân tích và giải bài toán theo từng bước.

Bước 1: Tóm tắt và thiết lập phương trình từ dữ liệu bài toán
Dựa vào đề bài, chúng ta có các thông tin sau:
– Số tiền gửi ban đầu (vốn): \(P = 200\) triệu đồng.
– Lãi suất: \(r = 6,5\% / \text{năm} = 0,065\).
– Công thức tính tổng số tiền (cả gốc lẫn lãi) sau \(n\) năm là: \(A_n = 200 \cdot (1 + 0,065)^n\). (Trong đề em gõ bị thiếu số mũ n, thầy đã sửa lại cho đúng công thức lãi kép nhé).
– Yêu cầu bài toán: Tìm số năm \(n\) nhỏ nhất để tổng số tiền nhận được lớn hơn 500 triệu đồng.

Từ yêu cầu trên, ta có bất phương trình:
\[ A_n > 500 \]
\[ 200 \cdot (1 + 0,065)^n > 500 \]

Bước 2: Giải bất phương trình mũ
Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành giải bất phương trình vừa thiết lập.

\[ 200 \cdot (1,065)^n > 500 \]

Đầu tiên, ta chia cả hai vế của bất phương trình cho 200 (vì 200 là số dương nên chiều của bất phương trình không đổi):
\[ (1,065)^n > \frac{500}{200} \]
\[ (1,065)^n > 2,5 \]

Đây là một bất phương trình mũ cơ bản. Để tìm \(n\), chúng ta sẽ sử dụng logarit. Ta sẽ logarit hóa hai vế của bất phương trình. Em có thể dùng logarit cơ số 10 (\(\log\)) hoặc logarit tự nhiên (\(\ln\)). Ở đây thầy dùng logarit cơ số 10 nhé.

Vì cơ số \(1,065 > 1\) nên khi lấy logarit hai vế, chiều của bất phương trình được giữ nguyên:
\[ \log\left((1,065)^n\right) > \log(2,5) \]

Áp dụng công thức của logarit \( \log(a^b) = b \cdot \log(a) \), ta được:
\[ n \cdot \log(1,065) > \log(2,5) \]

Để tìm \(n\), ta chia cả hai vế cho \( \log(1,065) \). Vì \(1,065 > 1\) nên \( \log(1,065) > 0 \), do đó chiều của bất phương trình một lần nữa không thay đổi:
\[ n > \frac{\log(2,5)}{\log(1,065)} \]

Bước 3: Tính toán và kết luận
Bây giờ em hãy dùng máy tính cầm tay để tính giá trị của biểu thức trên:
\[ n > \frac{\log(2,5)}{\log(1,065)} \approx \frac{0,39794}{0,02735} \]
\[ n > 14,55 \]

Vì \(n\) là số năm và ngân hàng tính lãi theo kỳ hạn 1 năm, nên \(n\) phải là một số nguyên.
Ta cần tìm số nguyên \(n\) nhỏ nhất mà lớn hơn 14,55.
Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này là \(n = 15\).

Kết luận:
Vậy, ông A phải gửi ít nhất 15 năm thì số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được mới trên 500 triệu đồng.

Chúc em học tốt nhé! Nếu có thắc mắc gì, đừng ngần ngại hỏi thầy.