Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập liên quan đến định lý Vi-ét, một công cụ rất hữu ích trong việc giải các bài toán về nghiệm của phương trình bậc hai. Bài tập của chúng ta hôm nay là: phân tích biểu thức (3×1+x2)(3×2+x1) .

Chúng ta sẽ cùng đi vào từng bước giải chi tiết nhé.

Bước 1: Phân tích biểu thức đã cho.
Biểu thức cần phân tích là (3×1+x2)(3×2+x1). Đây là một tích của hai đa thức, trong đó x1 và x2 thường là nghiệm của một phương trình bậc hai nào đó. Mục tiêu của chúng ta là biến đổi biểu thức này về dạng chỉ chứa các biểu thức đối xứng của x1 và x2, cụ thể là tổng (x1+x2) và tích (x1*x2).

Bước 2: Thực hiện phép nhân đa thức.
Để làm điều này, chúng ta sẽ nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai:
(3×1+x2)(3×2+x1) = 3×1 (3×2+x1) + x2 (3×2+x1)
= (3×1 3×2) + (3×1 x1) + (x2 3×2) + (x2 x1)
= 9x1x2 + 3×1^2 + 3×2^2 + x1x2

Bước 3: Rút gọn biểu thức sau khi nhân.
Gom các hạng tử giống nhau lại:
= (9x1x2 + x1x2) + 3×1^2 + 3×2^2
= 10x1x2 + 3×1^2 + 3×2^2

Bước 4: Biến đổi để xuất hiện tổng và tích của x1 và x2.
Chúng ta có hạng tử 3×1^2 + 3×2^2. Ta có thể nhóm 3 ra ngoài: 3(x1^2 + x2^2).
Bây giờ, chúng ta cần biểu diễn x1^2 + x2^2 thông qua (x1+x2) và (x1*x2).
Ta biết rằng: (x1+x2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2
Từ đó, ta có thể suy ra: x1^2 + x2^2 = (x1+x2)^2 – 2x1x2.

Bây giờ, thay thế vào biểu thức ở Bước 3:
= 10x1x2 + 3 * [ (x1+x2)^2 – 2x1x2 ]

Bước 5: Tiếp tục rút gọn biểu thức.
Phân phối số 3 vào trong ngoặc vuông:
= 10x1x2 + 3(x1+x2)^2 – 3 * 2x1x2
= 10x1x2 + 3(x1+x2)^2 – 6x1x2

Gom các hạng tử chứa x1x2 lại:
= (10x1x2 – 6x1x2) + 3(x1+x2)^2
= 4x1x2 + 3(x1+x2)^2

Bước 6: Viết lại theo dạng tổng quát.
Cuối cùng, chúng ta có thể viết lại biểu thức theo thứ tự quen thuộc hơn, ưu tiên hạng tử chứa bình phương của tổng:
= 3(x1+x2)^2 + 4x1x2

Kết luận:
Vậy, biểu thức (3×1+x2)(3×2+x1) sau khi phân tích và rút gọn là 3(x1+x2)^2 + 4x1x2.

Lý do chúng ta làm như vậy là bởi vì trong các bài toán về phương trình bậc hai, đặc biệt là khi áp dụng định lý Vi-ét, chúng ta thường biết hoặc cần tính giá trị của tổng hai nghiệm (x1+x2) và tích hai nghiệm (x1*x2). Bằng cách biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa hai đại lượng này, chúng ta có thể dễ dàng thay thế giá trị đã biết vào và tính toán kết quả cuối cùng.

Trong trường hợp này, chúng ta đã sử dụng công thức khai triển hằng đẳng thức:
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
và biến đổi từ đó để biểu diễn \( a^2 + b^2 \) theo \( (a+b) \) và \( ab \).

Cảm ơn các em đã chú ý theo dõi. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!