Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) (x² – 2x) ² – 2 ( x² – 2x) – 3
a) (x² – 2x) ² – 2 ( x² – 2x) – 3
Chúng ta sẽ bắt đầu với câu a) có dạng như sau:
(x² – 2x) ² – 2 ( x² – 2x) – 3
Các em quan sát kỹ đề bài. Chúng ta thấy xuất hiện cụm (x² – 2x) lặp đi lặp lại. Đây là dấu hiệu để chúng ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ.
Bước 1: Đặt ẩn phụ
Chúng ta đặt t = x² – 2x.
Khi đó, biểu thức ban đầu của chúng ta sẽ trở thành:
t² – 2t – 3
Bây giờ, bài toán của chúng ta đã trở nên quen thuộc hơn rất nhiều, đó là phân tích đa thức bậc hai một ẩn t thành nhân tử.
Bước 2: Phân tích đa thức bậc hai một ẩn t
Chúng ta cần tìm cách tách hạng tử -2t để có thể nhóm các hạng tử lại với nhau.
Chúng ta sẽ tách -2t thành -3t + t. Vì sao lại là -3t và t? Vì chúng ta muốn tìm hai số mà tổng của chúng bằng -2 (hệ số của t) và tích của chúng bằng -3 (hệ số tự do) nhân với 1 (hệ số của t² ban đầu). Hai số đó chính là -3 và 1.
Vậy, biểu thức t² – 2t – 3 trở thành:
t² – 3t + t – 3
Bước 3: Nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung
Chúng ta tiến hành nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử sau:
(t² – 3t) + (t – 3)
Bây giờ, chúng ta đặt nhân tử chung cho từng nhóm:
Nhóm thứ nhất: t² – 3t, nhân tử chung là t. Ta được t(t – 3).
Nhóm thứ hai: t – 3, nhân tử chung là 1. Ta được 1(t – 3).
Vậy, biểu thức của chúng ta trở thành:
t(t – 3) + 1(t – 3)
Quan sát hai hạng tử này, chúng ta thấy có nhân tử chung là (t – 3). Chúng ta đặt (t – 3) làm nhân tử chung:
(t – 3)(t + 1)
Bước 4: Thay ẩn phụ trở lại
Bây giờ, chúng ta cần thay t = x² – 2x vào biểu thức vừa tìm được:
( (x² – 2x) – 3 ) ( (x² – 2x) + 1 )
Chúng ta bỏ ngoặc bên trong:
(x² – 2x – 3) (x² – 2x + 1)
Bước 5: Phân tích tiếp các nhân tử (nếu có thể)
Bây giờ, chúng ta kiểm tra xem hai nhân tử (x² – 2x – 3) và (x² – 2x + 1) có thể phân tích tiếp thành nhân tử nữa hay không.
Xét nhân tử thứ nhất: x² – 2x – 3.
Chúng ta lại sử dụng phương pháp tách hạng tử giống như khi phân tích đa thức bậc hai một biến t. Chúng ta tìm hai số có tổng bằng -2 và tích bằng -3. Đó là -3 và 1.
Vậy, x² – 2x – 3 = x² – 3x + x – 3
= (x² – 3x) + (x – 3)
= x(x – 3) + 1(x – 3)
= (x – 3)(x + 1)
Xét nhân tử thứ hai: x² – 2x + 1.
Nhân tử này quen thuộc với chúng ta. Nó có dạng của hằng đẳng thức số 2: a² – 2ab + b² = (a – b)².
Ở đây, a = x và b = 1.
Vậy, x² – 2x + 1 = (x – 1)²
Bước 6: Kết luận
Sau khi phân tích cả hai nhân tử, biểu thức ban đầu của chúng ta trở thành:
(x – 3)(x + 1)(x – 1)²
Vậy, kết quả cuối cùng của bài toán là (x – 3)(x + 1)(x – 1)².
Các em thấy không, bằng cách đặt ẩn phụ, chúng ta đã đưa một bài toán có vẻ phức tạp về dạng quen thuộc hơn. Sau đó, chúng ta lại tiếp tục phân tích các nhân tử tìm được.
Lưu ý: Các em cần chú ý nhận ra các nhân tử chung và các hằng đẳng thức để việc phân tích được nhanh chóng và chính xác.
Hy vọng với cách trình bày chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về bài tập này. Hẹn gặp lại các em trong các bài tập tiếp theo.
\((x^2-2x)^2-2(x^2-2x)-3\)
Đặt \(y=x^2-2x\)
\(=>y^2-2y-3\)
\(=y^2-3y+y-3\)
\(=y(y-3)+(y-3)\)
\(=(y-3)(y+1)\)
\(=(x^2-2x-3)(x^2-2x+1)\)
\(=(x-3)(x+1)(x-1)^2\)
\((x^2-2x)^2-2(x^2-2x)-3\)
\(= (x^2-2x)^2+(x^2-2x)-3(x^2-2x)-3\)
\(= (x^2-2x)(x^2-2x+1)-3(x^2-2x+1)\)
\(= (x-1)^2(x^2-2x-3)\)
\(= (x-1)^2(x^2+x-3x-3)\)
\(= (x-1)^2(x+1)(x-3)\)