Chào em, thầy rất vui khi được cùng em giải quyết hai bài toán phân tích đa thức thành nhân tử rất hay này. Đây là dạng bài tập nâng cao một chút, nhưng nếu nắm vững phương pháp thì em sẽ thấy nó không hề khó. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Dạng toán: Cả hai câu này đều thuộc dạng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.

Lý do áp dụng phương pháp này:

• Các đa thức đã cho đều có dạng tổng của hai số hạng, không có nhân tử chung, cũng không phải là một hằng đẳng thức quen thuộc.
• Tuy nhiên, ta có thể nhận thấy các hạng tử đều là lũy thừa bậc chẵn, gợi ý cho chúng ta biến đổi để xuất hiện Hằng đẳng thức số 1: Bình phương của một tổng \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \).
• Sau khi tạo ra bình phương của một tổng, phần còn lại thường sẽ là một số chính phương, giúp chúng ta tiếp tục áp dụng Hằng đẳng thức số 3: Hiệu hai bình phương \( A^2 – B^2 = (A-B)(A+B) \).

Bây giờ, thầy sẽ trình bày lời giải chi tiết cho từng câu.

---

a) Phân tích đa thức \( x^4 + 324 \)

Bước 1: Nhận dạng các hạng tử để tạo hằng đẳng thức.
Ta có: \( x^4 = (x^2)^2 \) và \( 324 = 18^2 \).
Để có hằng đẳng thức bình phương của một tổng, ta cần hạng tử ở giữa là \( 2 \cdot x^2 \cdot 18 = 36x^2 \).

Bước 2: Thêm và bớt hạng tử \( 36x^2 \) vào đa thức.
\( x^4 + 324 = x^4 + 36x^2 + 324 – 36x^2 \)

Bước 3: Nhóm các hạng tử để tạo ra hằng đẳng thức.
Ta nhóm ba hạng tử đầu tiên lại với nhau:
\( = (x^4 + 36x^2 + 324) – 36x^2 \)

Bước 4: Áp dụng hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng” và “Hiệu hai bình phương”.
Biểu thức trong ngoặc chính là hằng đẳng thức \( (x^2+18)^2 \). Hạng tử còn lại là \( 36x^2 = (6x)^2 \).
\( = (x^2 + 18)^2 – (6x)^2 \)
Lúc này, biểu thức có dạng \( A^2 – B^2 \) với \( A = x^2 + 18 \) và \( B = 6x \). Ta áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:
\( = ( (x^2 + 18) – 6x ) ( (x^2 + 18) + 6x ) \)

Bước 5: Sắp xếp lại các hạng tử trong mỗi nhân tử cho đẹp mắt.
\( = (x^2 – 6x + 18)(x^2 + 6x + 18) \)

Kết luận: Vậy, \( x^4 + 324 = (x^2 – 6x + 18)(x^2 + 6x + 18) \).

---

b) Phân tích đa thức \( 4x^4 + 81 \)

Tương tự như câu a, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

Bước 1: Nhận dạng các hạng tử để tạo hằng đẳng thức.
Ta có: \( 4x^4 = (2x^2)^2 \) và \( 81 = 9^2 \).
Để có hằng đẳng thức bình phương của một tổng, ta cần hạng tử ở giữa là \( 2 \cdot (2x^2) \cdot 9 = 36x^2 \).

Bước 2: Thêm và bớt hạng tử \( 36x^2 \) vào đa thức.
\( 4x^4 + 81 = 4x^4 + 36x^2 + 81 – 36x^2 \)

Bước 3: Nhóm các hạng tử để tạo ra hằng đẳng thức.
\( = (4x^4 + 36x^2 + 81) – 36x^2 \)

Bước 4: Áp dụng hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng” và “Hiệu hai bình phương”.
Biểu thức trong ngoặc là hằng đẳng thức \( (2x^2+9)^2 \). Hạng tử còn lại là \( 36x^2 = (6x)^2 \).
\( = (2x^2 + 9)^2 – (6x)^2 \)
Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương với \( A = 2x^2 + 9 \) và \( B = 6x \):
\( = ( (2x^2 + 9) – 6x ) ( (2x^2 + 9) + 6x ) \)

Bước 5: Sắp xếp lại các hạng tử.
\( = (2x^2 – 6x + 9)(2x^2 + 6x + 9) \)

Kết luận: Vậy, \( 4x^4 + 81 = (2x^2 – 6x + 9)(2x^2 + 6x + 9) \).

Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp em hiểu rõ hơn về phương pháp và có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự. Chúc em học tốt! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào khác, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé.