Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Cô là giáo viên Toán của các em đây. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8, đó là phân tích đa thức thành nhân tử. Dù các em đang sử dụng bộ sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo hay Cánh diều, thì phương pháp chung vẫn sẽ là những kiến thức cốt lõi.

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích hai đa thức sau nhé.

a) x⁴ – 2x³ + 2x – 1

Đây là một đa thức bậc bốn. Khi gặp những đa thức có bậc cao như thế này, việc đầu tiên chúng ta nên nghĩ đến là nhóm các hạng tử sao cho xuất hiện các nhân tử chung hoặc áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Bước 1: Quan sát đa thức và thử nhóm các hạng tử.
Ta thấy có hạng tử x⁴ và -1 là những số hạng có thể liên quan đến hằng đẳng thức bình phương của một hiệu. Đồng thời, hai hạng tử còn lại là -2x³ và 2x có nhân tử chung là -2x.

Ta sẽ nhóm các hạng tử như sau:
x⁴ – 1 – 2x³ + 2x

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho nhóm hạng tử đầu tiên.
Ta có hằng đẳng thức: a² – b² = (a – b)(a + b).
Ở đây, a² = x⁴ nên a = x², và b² = 1 nên b = 1.
Vậy, x⁴ – 1 = (x²)² – 1² = (x² – 1)(x² + 1).

Bước 3: Đặt nhân tử chung cho nhóm hạng tử thứ hai.
-2x³ + 2x = -2x(x² – 1).

Bước 4: Thay thế và nhóm lại.
Sau khi áp dụng các bước trên, đa thức của chúng ta trở thành:
(x² – 1)(x² + 1) – 2x(x² – 1)

Bước 5: Nhận thấy nhân tử chung mới và tiếp tục phân tích.
Bây giờ, ta thấy nhân tử chung của toàn bộ đa thức là (x² – 1). Ta đặt nhân tử chung này ra ngoài:
(x² – 1) [ (x² + 1) – 2x ]

Bước 6: Sắp xếp lại biểu thức trong ngoặc vuông và phân tích tiếp nếu có thể.
(x² – 1) (x² – 2x + 1)

Bước 7: Tiếp tục áp dụng hằng đẳng thức.
Ta nhận thấy:
– x² – 1 là hiệu hai bình phương, ta phân tích thành (x – 1)(x + 1).
– x² – 2x + 1 là bình phương của một hiệu, ta có hằng đẳng thức: a² – 2ab + b² = (a – b)². Ở đây, a = x, b = 1. Vậy, x² – 2x + 1 = (x – 1)².

Bước 8: Kết hợp các nhân tử đã phân tích.
Thay thế vào biểu thức ở Bước 6:
(x – 1)(x + 1) (x – 1)²

Bước 9: Gom các nhân tử giống nhau.
(x – 1) . (x – 1)² . (x + 1) = (x – 1)³(x + 1)

Vậy, đa thức x⁴ – 2x³ + 2x – 1 đã được phân tích thành nhân tử là (x – 1)³(x + 1).

b) x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 1

Đây cũng là một đa thức bậc bốn. Với những đa thức có dạng đối xứng hoặc có các hệ số đặc biệt như thế này, chúng ta có thể thử nhóm hạng tử hoặc chia cho x² (nếu là đa thức đối xứng loại 2) hoặc thử thêm bớt hạng tử để tạo ra các hằng đẳng thức.

Bước 1: Quan sát đa thức và thử thêm bớt hạng tử.
Ta nhận thấy hạng tử đầu tiên là x⁴ và hạng tử cuối cùng là 1. Chúng gợi nhớ đến khai triển của (x² + 1)² = x⁴ + 2x² + 1.
Tuy nhiên, đa thức của chúng ta có hạng tử 2x³ và 2x.

Chúng ta sẽ thử thêm bớt hạng tử x² để tạo ra hằng đẳng thức.
x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 1
= x⁴ + 2x³ + x² + x² + 2x + 1 (Tách 2x² thành x² + x²)

Bước 2: Nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.
Nhóm ba hạng tử đầu tiên và ba hạng tử cuối cùng:
(x⁴ + 2x³ + x²) + (x² + 2x + 1)

Bước 3: Đặt nhân tử chung và nhận dạng hằng đẳng thức.
– Trong nhóm thứ nhất: x⁴ + 2x³ + x², ta đặt nhân tử chung là x²:
x²(x² + 2x + 1)
Ta nhận thấy biểu thức trong ngoặc là hằng đẳng thức (x + 1)².
Vậy, x⁴ + 2x³ + x² = x²(x + 1)².

– Trong nhóm thứ hai: x² + 2x + 1, đây chính là hằng đẳng thức bình phương của một tổng: (x + 1)².

Bước 4: Thay thế vào biểu thức và nhóm lại.
Đa thức ban đầu trở thành:
x²(x + 1)² + (x + 1)²

Bước 5: Đặt nhân tử chung mới.
Ta thấy nhân tử chung của cả hai hạng tử là (x + 1)². Ta đặt nhân tử chung này ra ngoài:
(x + 1)² [ x² + 1 ]

Bước 6: Kiểm tra xem có thể phân tích tiếp hay không.
Nhân tử (x + 1)² đã được phân tích.
Nhân tử (x² + 1) là một tam thức bậc hai không thể phân tích thành nhân tử với hệ số thực.

Vậy, đa thức x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 1 đã được phân tích thành nhân tử là (x + 1)²(x² + 1).

Các em thấy đấy, để phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta cần linh hoạt trong việc nhóm hạng tử, vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ và đôi khi là kỹ năng thêm bớt hạng tử một cách khéo léo. Hãy luyện tập thật nhiều để nắm vững dạng bài này nhé!