phan tich da thuc thanh nhan tu x³-2x²+2x-1

Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử rất thú vị, đó là đa thức $x^3–2x^2+2x–1$. Đây là một dạng bài thường gặp, giúp chúng ta rèn luyện tư duy logic và kỹ năng biến đổi đại số.

Phương pháp giải:

Để phân tích đa thức bậc ba này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp “nhẩm nghiệm” để tìm một nhân tử, sau đó dùng phương pháp “tách hạng tử” để hoàn thành việc phân tích.

Lý do chọn phương pháp:

1. Nhẩm nghiệm: Đối với các đa thức bậc cao có hệ số nguyên, việc thử các ước của hệ số tự do (số hạng không chứa $x$) là cách hiệu quả để tìm ra một nghiệm nguyên. Nếu $x=a$ là một nghiệm, thì $(x–a)$ sẽ là một nhân tử của đa thức. Điều này giúp chúng ta “khởi động” quá trình phân tích một cách nhanh chóng.
2. Tách hạng tử: Sau khi tìm được một nhân tử, việc tách các hạng tử của đa thức ban đầu để xuất hiện nhân tử đó là một kỹ thuật biến đổi đại số cơ bản và rất hữu ích trong chương trình Toán lớp 8, giúp chúng ta nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung một cách dễ dàng, tránh việc phải thực hiện phép chia đa thức phức tạp.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Nhẩm nghiệm để tìm một nhân tử của đa thức.

Xét đa thức $P\left(x\right)=x^3–2x^2+2x–1$.

Các ước của hệ số tự do (-1) là $\pm 1$. Ta sẽ thử các giá trị này vào đa thức $P\left(x\right)$ để xem giá trị nào làm cho đa thức bằng 0.

Thử với $x=1$:

$$P\left(1\right)=1^3–2\cdot 1^2+2\cdot 1–1$$
$$P\left(1\right)=1–2+2–1$$
$$P\left(1\right)=0$$
Vì $P\left(1\right)=0$, nên $x=1$ là một nghiệm của đa thức. Theo định lý Bezout, điều này có nghĩa là đa thức đã cho có một nhân tử là $(x–1)$.

Bước 2: Tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử $(x–1)$.

Ta sẽ biến đổi đa thức ban đầu bằng cách tách các hạng tử sao cho có thể nhóm được nhân tử $(x–1)$.

Đa thức cần phân tích là:
$$x^3–2x^2+2x–1$$
Để từ $x^3$ ta có thể tạo ra nhân tử $(x–1)$, ta cần trừ đi $x^2$. Vì vậy, ta tách hạng tử $–2x^2$ thành $–x^2–x^2$:

$$=(x^3–x^2)–x^2+2x–1$$
Nhóm hai hạng tử đầu tiên, ta được:

$$=x^2(x–1)–x^2+2x–1$$
Tiếp theo, ta cần tạo ra nhân tử $(x–1)$ từ $–x^2$. Để làm được điều đó, ta cần cộng thêm $x$. Vậy, ta tách hạng tử $2x$ thành $x+x$:

$$=x^2(x–1)–(x^2–x)+x–1$$
Nhóm hai hạng tử tiếp theo, ta được:

$$=x^2(x–1)–x(x–1)+x–1$$
Cuối cùng, ta thấy hạng tử $x–1$ đã xuất hiện rõ ràng. Ta có thể viết lại nó là $1\cdot (x–1)$ để tiện đặt nhân tử chung:

$$=x^2(x–1)–x(x–1)+1\cdot (x–1)$$

Bước 3: Đặt nhân tử chung.

Bây giờ, chúng ta thấy nhân tử chung $(x–1)$ đã có mặt ở cả ba nhóm hạng tử. Ta đặt $(x–1)$ làm nhân tử chung:

$$=(x–1)[x^2–x+1]$$

Bước 4: Kiểm tra nhân tử bậc hai còn lại.

Ta cần kiểm tra xem đa thức bậc hai $x^2–x+1$ có thể tiếp tục phân tích thành nhân tử được nữa hay không trong tập số thực.

Đối với đa thức bậc hai dạng $a{x}^2+bx+c$, nếu biệt thức $\Delta =b^2–4ac<0$, thì đa thức đó không thể phân tích thành nhân tử với hệ số thực.

Trong trường hợp này, với đa thức $x^2–x+1$, ta có: $a=1$, $b=–1$, $c=1$.

Tính biệt thức $\Delta$:

$$\Delta ={(–1)}^2–4\cdot 1\cdot 1$$
$$\Delta =1–4$$
$$\Delta =–3$$
Vì $\Delta =–3<0$, nên đa thức $x^2–x+1$ không thể phân tích thành nhân tử nữa trong tập số thực.

Kết luận:

Vậy, đa thức $x^3–2x^2+2x–1$ đã được phân tích thành nhân tử là:

$$x^3–2x^2+2x–1=(x–1)(x^2–x+1)$$

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm rõ hơn cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm và tách hạng tử. Đây là những kỹ năng rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta. Chúc các em học tốt!