phân tích đa thức thành nhân tử (x^2+2x+7)-(x^2+2x+4)(x^2+2x+3)

Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử rất thú vị nhé. Quan sát đề bài, chúng ta sẽ thấy một điểm đặc biệt giúp bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ:

$(x^2+2x+7)–(x^2+2x+4)(x^2+2x+3)$

LỜI GIẢI CHI TIẾT:

Bước 1: Đặt ẩn phụ để đơn giản hóa biểu thức.

Quan sát biểu thức, các em có thể dễ dàng nhận thấy cụm $x^2+2x$ xuất hiện lặp đi lặp lại ở nhiều vị trí. Để bài toán trở nên gọn gàng và dễ nhìn hơn, chúng ta sẽ dùng phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp này giúp chuyển một biểu thức phức tạp về dạng đơn giản hơn để thực hiện các phép tính và phân tích.

Đặt $y=x^2+2x$.

Bước 2: Viết lại biểu thức theo ẩn phụ.

Thay $x^2+2x$ bằng $y$ vào biểu thức ban đầu, ta được:

$(y+7)–(y+4)(y+3)$

Bước 3: Thực hiện phép nhân và rút gọn biểu thức theo ẩn phụ $y$.

Trước hết, chúng ta sẽ nhân hai đa thức $(y+4)$ và $(y+3)$ lại với nhau:

$(y+4)(y+3)=y\cdot y+y\cdot 3+4\cdot y+4\cdot 3$

$=y^2+3y+4y+12$

$=y^2+7y+12$

Bây giờ, thay kết quả này trở lại biểu thức tổng quát:

$(y+7)–(y^2+7y+12)$

Phá ngoặc và rút gọn (lưu ý dấu trừ phía trước ngoặc):

$=y+7–y^2–7y–12$

$=–y^2+(y–7y)+(7–12)$

$=–y^2–6y–5$

Bước 4: Phân tích đa thức bậc hai theo ẩn phụ $y$ thành nhân tử.

Biểu thức của chúng ta bây giờ là $–y^2–6y–5$. Để dễ phân tích, chúng ta sẽ đặt dấu trừ ra ngoài:

$=–(y^2+6y+5)$

Bây giờ, chúng ta cần phân tích đa thức bậc hai $y^2+6y+5$ thành nhân tử. Chúng ta tìm hai số có tích bằng $5$ và tổng bằng $6$. Hai số đó là $1$ và $5$.

Vậy, $y^2+6y+5=(y+1)(y+5)$.

Khi đó, biểu thức của chúng ta trở thành:

$=–(y+1)(y+5)$

Bước 5: Thay ẩn phụ trở lại.

Bây giờ, chúng ta thay $y=x^2+2x$ trở lại vào biểu thức đã phân tích:

$=–\left(\right(x^2+2x)+1)\left(\right(x^2+2x)+5)$

$=–(x^2+2x+1)(x^2+2x+5)$

Bước 6: Kiểm tra và phân tích tiếp các nhân tử (nếu có thể).

Chúng ta nhìn vào hai nhân tử vừa tìm được:

Nhân tử thứ nhất: $x^2+2x+1$

Đây chính là một hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học: bình phương của một tổng!

$a^2+2\mathrm{ab}+b^2={(a+b)}^2$

Với $a=x$ và $b=1$, ta có: $x^2+2x+1={(x+1)}^2$.

Nhân tử thứ hai: $x^2+2x+5$

Chúng ta kiểm tra xem đa thức này có thể phân tích thành nhân tử với hệ số thực được nữa không. Ta có thể thử tách hạng tử hoặc nhẩm nghiệm, hoặc đơn giản là nhận thấy không có hai số nào nhân lại bằng 5 và cộng lại bằng 2. (Ví dụ, nếu sử dụng kiến thức nâng cao hơn một chút, biệt thức delta $\Delta =b^2–\mathrm{4ac}=2^2–4\cdot 1\cdot 5=4–20=–16<0$, nên đa thức này không có nghiệm thực và không thể phân tích thành nhân tử với hệ số thực).

Vậy, nhân tử $x^2+2x+5$ đã là dạng tối giản nhất.

Kết luận:

Vậy, biểu thức ban đầu sau khi phân tích thành nhân tử là:

$–{(x+1)}^2(x^2+2x+5)$

Các em thấy không, việc dùng ẩn phụ đã giúp bài toán phức tạp trở nên đơn giản và dễ dàng hơn rất nhiều! Hãy luôn tìm kiếm những “mối liên hệ” và “cụm lặp lại” trong các bài toán đại số để áp dụng phương pháp này nhé. Chúc các em học tốt!