Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử quen thuộc trong chương trình Toán lớp 8 nhé. Chúng ta sẽ cùng nhau xem xét bài toán sau đây:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x⁴ + 2x² + 2

Để làm được bài toán này, cô trò mình sẽ đi từng bước một, giống như cách chúng ta xây nhà vậy, phải có móng vững chắc thì nhà mới cao tầng được.

Bước 1: Tìm nhân tử chung (nếu có)

Các em hãy quan sát kỹ đa thức: 2x⁴ + 2x² + 2. Chúng ta sẽ xem xét các hạng tử của nó:
– Hạng tử thứ nhất là 2x⁴
– Hạng tử thứ hai là 2x²
– Hạng tử thứ ba là 2

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm xem có số nào hoặc biến nào mà tất cả các hạng tử đều chia hết không.
– Về hệ số: Số 2 xuất hiện ở cả ba hạng tử. Vậy, 2 là một nhân tử chung.
– Về biến: Biến x xuất hiện ở hạng tử thứ nhất (với số mũ là 4) và hạng tử thứ hai (với số mũ là 2). Tuy nhiên, hạng tử thứ ba là 2 không có biến x. Do đó, x không phải là nhân tử chung.

Vậy, nhân tử chung duy nhất của đa thức 2x⁴ + 2x² + 2 là 2.

Bây giờ, chúng ta sẽ đặt nhân tử chung 2 ra ngoài dấu ngoặc. Để làm được điều này, chúng ta chia từng hạng tử của đa thức cho nhân tử chung:
– 2x⁴ chia cho 2 được x⁴.
– 2x² chia cho 2 được x².
– 2 chia cho 2 được 1.

Do đó, ta có thể viết lại đa thức như sau:
2x⁴ + 2x² + 2 = 2 * (x⁴ + x² + 1)

Bước 2: Phân tích biểu thức trong ngoặc thành nhân tử (nếu có thể)

Bây giờ, chúng ta cần tập trung vào biểu thức trong ngoặc: x⁴ + x² + 1.
Các em hãy suy nghĩ xem liệu chúng ta có thể áp dụng những hằng đẳng thức quen thuộc nào để phân tích biểu thức này không.

Chúng ta đã học các hằng đẳng thức như:
– Bình phương của một tổng: (a + b)² = a² + 2ab + b²
– Bình phương của một hiệu: (a – b)² = a² – 2ab + b²
– Hiệu hai bình phương: a² – b² = (a – b)(a + b)
– Lập phương của một tổng: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
– Lập phương của một hiệu: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
– Tổng hai lập phương: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
– Hiệu hai lập phương: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Quan sát biểu thức x⁴ + x² + 1, chúng ta thấy có vẻ hơi khó áp dụng trực tiếp ngay. Tuy nhiên, cô có một mẹo nhỏ muốn chia sẻ với các em. Chúng ta sẽ thử “biến đổi khéo léo” để tạo ra một hằng đẳng thức.

Các em hãy nhìn vào hạng tử đầu tiên là x⁴ và hạng tử cuối cùng là 1. Chúng ta có thể coi x⁴ là (x²)² và 1 là 1².
Bây giờ, chúng ta hãy thử nghĩ đến hằng đẳng thức bình phương của một tổng: (a + b)² = a² + 2ab + b².
Nếu coi a = x² và b = 1, thì a² = (x²)² = x⁴ và b² = 1² = 1.
Hạng tử ở giữa trong khai triển (x² + 1)² sẽ là 2 x² 1 = 2x².

So sánh với biểu thức x⁴ + x² + 1 của chúng ta, chúng ta thấy hạng tử ở giữa chỉ có x², thiếu mất hệ số 2.
Vậy, chúng ta có thể làm như sau:
x⁴ + x² + 1 = (x⁴ + 2x² + 1) – x²

Đây là một cách thêm bớt hạng tử để tạo ra hằng đẳng thức.
Bây giờ, chúng ta nhóm các hạng tử lại:
(x⁴ + 2x² + 1) – x²

Phần trong ngoặc đơn là (x²)² + 2 x² 1 + 1², đây chính là dạng khai triển của (x² + 1)².
Vậy, ta có:
(x² + 1)² – x²

Bây giờ, các em hãy nhìn kỹ biểu thức này: (x² + 1)² – x².
Nó có dạng a² – b² với:
– a = x² + 1
– b = x

Đây chính là dạng của hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: a² – b² = (a – b)(a + b).
Áp dụng vào biểu thức của chúng ta, ta được:
( (x² + 1) – x ) * ( (x² + 1) + x )

Bây giờ, chúng ta sắp xếp lại các hạng tử trong mỗi ngoặc cho gọn gàng hơn, theo thứ tự số mũ giảm dần:
(x² – x + 1) * (x² + x + 1)

Như vậy, chúng ta đã phân tích được biểu thức trong ngoặc thành nhân tử.

Bước 3: Kết hợp lại các nhân tử

Quay trở lại bài toán ban đầu, chúng ta có:
2x⁴ + 2x² + 2 = 2 * (x⁴ + x² + 1)

Và chúng ta vừa phân tích: x⁴ + x² + 1 = (x² – x + 1)(x² + x + 1).

Vậy, kết quả cuối cùng của việc phân tích đa thức 2x⁴ + 2x² + 2 thành nhân tử là:
2 (x² – x + 1) (x² + x + 1)

Các em hãy kiểm tra lại xem liệu các nhân tử (x² – x + 1) và (x² + x + 1) này có thể phân tích tiếp được nữa không. Đối với chương trình lớp 8, thông thường chúng ta dừng lại ở đây vì các tam thức bậc hai này (với hệ số thực) không thể phân tích thành nhân tử có bậc nhỏ hơn được nữa (tức là không có nghiệm thực hoặc nghiệm kép).

Vậy, đáp án cuối cùng của bài toán là:
2(x² – x + 1)(x² + x + 1)

Cô hy vọng qua bài tập này, các em đã nắm vững cách tìm nhân tử chung và kỹ thuật thêm bớt hạng tử để tạo ra hằng đẳng thức. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!