Chào các em, cô là giáo viên Toán lớp 8. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục bài toán phân tích đa thức thành nhân tử này. Đây là một dạng bài tập rất hay và phổ biến trong chương trình Toán lớp 8, giúp rèn luyện tư duy suy luận và kỹ năng biến đổi biểu thức.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Đa thức cần phân tích là: (x^2 + 2x)^2 + 9x^2 + 18x + 20

Bước 1: Nhận dạng và nhóm các hạng tử thích hợp.

Quan sát đa thức, chúng ta thấy có hạng tử (x^2 + 2x)^2 và các hạng tử còn lại là 9x^2 + 18x + 20.
Chúng ta có thể nhận thấy rằng 9x^2 + 18x có một nhân tử chung là 9x, và nó có liên quan đến x^2 + 2x.

Hãy thử đặt một biến phụ để đơn giản hóa biểu thức. Đặt y = x^2 + 2x.
Khi đó, biểu thức trở thành: y^2 + 9(x^2 + 2x) + 20.
Thay y vào, ta được: y^2 + 9y + 20.

Lý do: Việc đặt biến phụ giúp chúng ta nhìn thấy cấu trúc quen thuộc của một tam thức bậc hai, dễ dàng hơn trong việc phân tích.

Bước 2: Phân tích tam thức bậc hai theo biến phụ.

Bây giờ, chúng ta cần phân tích tam thức bậc hai y^2 + 9y + 20 thành nhân tử.
Chúng ta tìm hai số mà tổng của chúng bằng 9 (hệ số của y) và tích của chúng bằng 20 (hệ số tự do).
Hai số đó là 4 và 5 (vì 4 + 5 = 9 và 4 * 5 = 20).

Do đó, ta có thể viết lại biểu thức như sau:
y^2 + 9y + 20 = y^2 + 4y + 5y + 20

Lý do: Phương pháp tách hạng tử giữa giúp chúng ta đưa về dạng có thể nhóm nhân tử chung.

Bước 3: Nhóm các hạng tử và rút nhân tử chung.

Tiếp tục với biểu thức y^2 + 4y + 5y + 20, ta nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối:
(y^2 + 4y) + (5y + 20)

Rút nhân tử chung trong mỗi nhóm:
y(y + 4) + 5(y + 4)

Bây giờ, chúng ta thấy có nhân tử chung là (y + 4). Rút nhân tử chung này ra:
(y + 4)(y + 5)

Lý do: Việc nhóm hạng tử và rút nhân tử chung là phương pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử.

Bước 4: Thay biến phụ trở lại và tiếp tục phân tích (nếu có thể).

Bây giờ, chúng ta thay y = x^2 + 2x trở lại vào biểu thức (y + 4)(y + 5):
(x^2 + 2x + 4)(x^2 + 2x + 5)

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem hai nhân tử (x^2 + 2x + 4) và (x^2 + 2x + 5) có thể phân tích tiếp được nữa hay không.

Xét nhân tử thứ nhất: x^2 + 2x + 4.
Đây là một tam thức bậc hai. Để xem nó có thể phân tích thành nhân tử với hệ số thực hay không, ta có thể xét biệt thức Delta hoặc thử xem có thể đưa về dạng bình phương của một tổng/hiệu hay không.
Ta có thể viết lại là (x^2 + 2x + 1) + 3 = (x + 1)^2 + 3.
Vì (x + 1)^2 >= 0 với mọi x, nên (x + 1)^2 + 3 > 0 với mọi x. Do đó, nhân tử này không thể phân tích tiếp thành nhân tử với hệ số thực.

Xét nhân tử thứ hai: x^2 + 2x + 5.
Tương tự, ta viết lại là (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)^2 + 4.
Vì (x + 1)^2 >= 0 với mọi x, nên (x + 1)^2 + 4 > 0 với mọi x. Do đó, nhân tử này cũng không thể phân tích tiếp thành nhân tử với hệ số thực.

Lý do: Kiểm tra khả năng phân tích tiếp của các nhân tử là bước quan trọng để đảm bảo đa thức đã được phân tích hoàn toàn thành nhân tử không thể phân tích được nữa.

Kết luận:

Vậy, đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử là:
(x^2 + 2x + 4)(x^2 + 2x + 5)

Hy vọng với các bước giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách phân tích đa thức thành nhân tử. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!