Phân tích đa thức thành nhân tử x^2-2x+4

Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích đa thức $x^2–2x+4$ thành nhân tử. Đây là một dạng bài rất hay, đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học trong chương trình Toán lớp 8.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Kiểm tra xem đa thức có nhân tử chung hay không.

Lý do: Đây là phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản nhất, luôn được ưu tiên kiểm tra đầu tiên.

Quan sát các hạng tử của đa thức $x^2–2x+4$:

• Hạng tử thứ nhất là $x^2$.
• Hạng tử thứ hai là $–2x$.
• Hạng tử thứ ba là $4$.

Ta thấy rằng các hạng tử này không có nhân tử chung nào khác $1$ hoặc $–1$. Ví dụ, hạng tử $4$ không chứa biến $x$, và không có số nào ngoài $\pm 1$ là ước chung của $1$ (hệ số của $x^2$), $–2$ và $4$.

Vì vậy, chúng ta không thể sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung.

Bước 2: Thử áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Lý do: Nếu đa thức có dạng đặc biệt phù hợp với một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, thì việc phân tích sẽ trở nên rất nhanh chóng và hiệu quả.

Đa thức $x^2–2x+4$ có ba hạng tử, với hạng tử đầu tiên là bình phương của $x$ ($x^2$), và hạng tử cuối cùng là bình phương của $2$ ($4=2^2$). Điều này gợi ý chúng ta nghĩ đến hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:

${(A–B)}^2=A^2–2AB+B^2$

Để kiểm tra, ta thử đặt:

• $A^2=x^2\Rightarrow A=x$
• $B^2=4\Rightarrow B=2$

Vậy thì, hạng tử ở giữa của hằng đẳng thức phải là $–2AB=–2\cdot x\cdot 2=–4x$.

Tuy nhiên, hạng tử ở giữa của đa thức đã cho là $–2x$. Vì $–4x\ne –2x$, nên đa thức $x^2–2x+4$ không phải là dạng bình phương của một hiệu.

Một hằng đẳng thức khác có chứa dạng tương tự là tổng hai lập phương:

$A^3+B^3=(A+B)(A^2–AB+B^2)$

Nếu ta so sánh đa thức $x^2–2x+4$ với nhân tử $A^2–AB+B^2$, ta thấy:

• $A^2=x^2\Rightarrow A=x$
• $B^2=4\Rightarrow B=2$
• Khi đó, hạng tử ở giữa $–AB=–x\cdot 2=–2x$.

Điều này hoàn toàn khớp với đa thức đã cho: $x^2–2x+4$. Như vậy, đa thức này chính là nhân tử bậc hai trong công thức tổng hai lập phương $x^3+2^3$. Tuy nhiên, bản thân nó không thể phân tích thành tích của hai đa thức đơn giản hơn với hệ số thực trong chương trình lớp 8.

Bước 3: Thử phương pháp tách hạng tử.

Lý do: Phương pháp này thường được dùng để phân tích các tam thức bậc hai không phải là hằng đẳng thức.

Đối với đa thức bậc hai dạng $a{x}^2+bx+c$, chúng ta tìm cách tách hạng tử giữa $bx$ thành hai hạng tử $mx$ và $nx$ sao cho $m+n=b$ và $m\cdot n=a\cdot c$. Sau đó, chúng ta nhóm các hạng tử lại để tìm nhân tử chung.

Với đa thức $x^2–2x+4$, ta có:

• $a=1$
• $b=–2$
• $c=4$

Chúng ta cần tìm hai số $m$ và $n$ (thường là số nguyên) sao cho:

• $m+n=–2$ (tổng bằng hệ số của $x$)
• $m\cdot n=a\cdot c=1\cdot 4=4$ (tích bằng tích của hệ số $x^2$ và hạng tử tự do)

Hãy liệt kê các cặp số nguyên có tích bằng $4$ và tính tổng của chúng:

• Cặp $1$ và $4$: $1\cdot 4=4$. Tổng: $1+4=5$ (Không thỏa mãn $–2$).
• Cặp $(–1)$ và $(–4)$: $(–1)\cdot (–4)=4$. Tổng: $(–1)+(–4)=–5$ (Không thỏa mãn $–2$).
• Cặp $2$ và $2$: $2\cdot 2=4$. Tổng: $2+2=4$ (Không thỏa mãn $–2$).
• Cặp $(–2)$ và $(–2)$: $(–2)\cdot (–2)=4$. Tổng: $(–2)+(–2)=–4$ (Không thỏa mãn $–2$).

Chúng ta không tìm được cặp số nguyên $m,n$ nào thỏa mãn cả hai điều kiện trên. Do đó, phương pháp tách hạng tử cũng không áp dụng được để phân tích đa thức này thành nhân tử với các hệ số nguyên (hoặc hữu tỉ).

Kết luận:

Qua các bước kiểm tra cẩn thận, chúng ta nhận thấy đa thức $x^2–2x+4$ không thể phân tích thành nhân tử bằng các phương pháp cơ bản đã học trong chương trình Toán lớp 8 (đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, hoặc tách hạng tử).

Trong phạm vi kiến thức lớp 8, chúng ta coi đa thức này là một đa thức bất khả quy (không thể phân tích thành tích của các đa thức bậc thấp hơn với hệ số thực).