Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau luyện tập một dạng bài tập rất quan trọng trong chương trình Đại số lớp 8, đó là phân tích đa thức thành nhân tử. Bài tập hôm nay của chúng ta là:

x^3 – 2x – 1

Các em hãy quan sát đa thức này. Để phân tích đa thức này thành nhân tử, chúng ta cần tìm cách nhóm các hạng tử hoặc sử dụng các hằng đẳng thức.

Bước 1: Thử tách hạng tử

Thông thường, khi gặp một đa thức bậc ba và không có dấu hiệu rõ ràng của hằng đẳng thức, chúng ta sẽ thử tách một hạng tử để xuất hiện các nhân tử chung. Hạng tử chúng ta hay chọn để tách là hạng tử bậc hai hoặc bậc nhất sao cho chúng có thể kết hợp với các hạng tử khác để tạo thành nhân tử chung.

Ở đây, chúng ta có -2x. Chúng ta có thể thử tách -2x thành -x – x hoặc -2x thành -3x + x, v.v. Tuy nhiên, việc tách này cần có kinh nghiệm. Một cách khác để tìm hướng tách là thử xem có nghiệm nguyên nào của đa thức hay không. Nếu đa thức có nghiệm nguyên là a, thì x – a sẽ là một nhân tử của đa thức.
Ta thấy với x = -1, ta có: (-1)^3 – 2(-1) – 1 = -1 + 2 – 1 = 0.
Như vậy, x = -1 là một nghiệm của đa thức. Điều này có nghĩa là (x – (-1)), tức là (x + 1), sẽ là một nhân tử của đa thức đã cho.

Để xuất hiện nhân tử (x + 1), ta sẽ tách hạng tử -2x. Ta sẽ tách -2x thành -x – x.
Đa thức trở thành: x^3 – x – x – 1

Bước 2: Nhóm các hạng tử

Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử lại để xuất hiện nhân tử chung (x + 1).

Nhóm hạng tử đầu và hạng tử thứ hai: (x^3 – x)
Nhóm hạng tử thứ ba và hạng tử thứ tư: (-x – 1)

Vậy đa thức trở thành: (x^3 – x) + (-x – 1)

Bước 3: Đặt nhân tử chung cho từng nhóm

Với nhóm thứ nhất, (x^3 – x), ta thấy nhân tử chung là x.
x^3 – x = x(x^2 – 1)

Với nhóm thứ hai, (-x – 1), ta thấy có thể đặt -1 làm nhân tử chung.
-x – 1 = -1(x + 1)

Vậy đa thức bây giờ là: x(x^2 – 1) – 1(x + 1)

Bước 4: Tiếp tục phân tích và nhóm

Quan sát biểu thức x(x^2 – 1), ta nhận thấy (x^2 – 1) là một hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: a^2 – b^2 = (a – b)(a + b).
Ở đây, a = x và b = 1.
Vậy, x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1).

Thay vào biểu thức, ta có: x(x – 1)(x + 1) – 1(x + 1)

Bây giờ, ta thấy nhân tử chung là (x + 1) xuất hiện ở cả hai vế.

Bước 5: Đặt nhân tử chung (x + 1) ra ngoài

x(x – 1)(x + 1) – 1(x + 1) = (x + 1) [x(x – 1) – 1]

Bước 6: Rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông

Bây giờ, chúng ta sẽ rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông: x(x – 1) – 1.
Nhân phân phối x vào trong ngoặc:
x(x – 1) = x^2 – x

Vậy biểu thức trong ngoặc vuông trở thành: x^2 – x – 1.

Kết quả cuối cùng:

Sau khi hoàn thành các bước trên, ta được kết quả phân tích đa thức thành nhân tử là:
(x + 1)(x^2 – x – 1)

Vậy, x^3 – 2x – 1 = (x + 1)(x^2 – x – 1).

Đa thức x^2 – x – 1 này không thể phân tích tiếp thành nhân tử với các hệ số là số nguyên, nên đây là kết quả cuối cùng.

Chúc các em ôn tập thật tốt!