Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập phân tích đa thức thú vị. Dù đề bài có chứa căn thức, nhưng với kiến thức đã học, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết một cách dễ dàng. Bài tập này có thể xuất hiện trong các sách giáo khoa mới của chúng ta, dù là bộ Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo hay Cánh diều, bởi nó rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số cơ bản.

Chúng ta sẽ phân tích biểu thức: \(x-2-\sqrt{x}\)

Bước 1: Nhận dạng cấu trúc của biểu thức.
Quan sát biểu thức, chúng ta thấy có \(x\), có \(\sqrt{x}\) và một hằng số. Để có thể phân tích thành nhân tử, chúng ta cần cố gắng đưa về các dạng quen thuộc như hằng đẳng thức, hoặc nhóm các hạng tử giống nhau.

Bước 2: Biến đổi \(x\) và \(2\) về dạng có liên quan đến \(\sqrt{x}\).
Chúng ta biết rằng \(x = (\sqrt{x})^2\). Đây là một biến đổi rất quan trọng khi gặp biểu thức có cả \(x\) và \(\sqrt{x}\).
Vì vậy, biểu thức của chúng ta trở thành: \((\sqrt{x})^2 – 2 – \sqrt{x}\)

Bước 3: Sắp xếp lại các hạng tử để tạo thuận lợi cho việc áp dụng hằng đẳng thức hoặc nhóm hạng tử.
Thông thường, chúng ta sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến. Tuy nhiên, ở đây biến của chúng ta là \(\sqrt{x}\). Ta sẽ sắp xếp như sau: \((\sqrt{x})^2 – \sqrt{x} – 2\)

Bước 4: Nhóm hạng tử và tìm nhân tử chung.
Bây giờ, chúng ta có một “tam thức bậc hai” theo biến \(\sqrt{x}\). Ta có thể xem \(y = \sqrt{x}\), khi đó biểu thức trở thành \(y^2 – y – 2\).
Chúng ta cần tìm hai số mà tổng của chúng bằng \(-1\) (hệ số của \(y\)) và tích của chúng bằng \(-2\) (hệ số tự do). Hai số đó là \(-2\) và \(1\).
Do đó, ta có thể tách hạng tử \(-\sqrt{x}\) thành \(-\sqrt{x} – 2\sqrt{x} + \sqrt{x}\) hoặc \(-\sqrt{x} – 2\sqrt{x} + 1\sqrt{x}\) – cách tách này có vẻ hơi phức tạp.
Một cách hiệu quả hơn là tách hạng tử bậc nhất sao cho có thể nhóm lại với nhau. Chúng ta sẽ tách \(-\sqrt{x}\) thành \(-\mathbf{2}\sqrt{x} + \mathbf{1}\sqrt{x}\) hoặc đơn giản là \(-2\sqrt{x} + \sqrt{x}\).
Biểu thức trở thành: \((\sqrt{x})^2 – 2\sqrt{x} + \sqrt{x} – 2\)

Bước 5: Nhóm các cặp hạng tử.
Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử sau:
\( [(\sqrt{x})^2 – 2\sqrt{x}] + [\sqrt{x} – 2] \)

Bước 6: Đặt nhân tử chung cho từng nhóm.
Nhóm thứ nhất: \(\sqrt{x}\) là nhân tử chung. Ta được \(\sqrt{x}(\sqrt{x} – 2)\).
Nhóm thứ hai: đã có sẵn dạng \(\sqrt{x} – 2\).

Biểu thức trở thành: \( \sqrt{x}(\sqrt{x} – 2) + 1(\sqrt{x} – 2) \)

Bước 7: Đặt nhân tử chung là biểu thức \(\sqrt{x} – 2\).
Lúc này, \(\sqrt{x} – 2\) là nhân tử chung của cả hai hạng tử.
Ta đặt \(\sqrt{x} – 2\) ra ngoài.
Kết quả phân tích là: \( (\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} + 1) \)

Lý do áp dụng phương pháp:
– Chúng ta đã biến đổi \(x\) thành \((\sqrt{x})^2\) để có thể coi biểu thức như một tam thức bậc hai theo biến \(\sqrt{x}\).
– Sau đó, chúng ta sử dụng kỹ thuật tách hạng tử bậc nhất (trong trường hợp này là hạng tử chứa \(\sqrt{x}\)) để tạo ra nhân tử chung, một phương pháp phổ biến để phân tích đa thức.
– Việc nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung là các bước cơ bản để đưa biểu thức về dạng nhân tử.

Vậy, phân tích \(x-2-\sqrt{x}\) ta được \( (\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} + 1) \).

Lưu ý quan trọng: Khi làm việc với căn thức bậc hai, chúng ta cần nhớ rằng biểu thức dưới dấu căn phải không âm, tức là \(x \ge 0\). Trong trường hợp này, \(\sqrt{x}\) luôn không âm, và \(\sqrt{x} + 1\) luôn dương, nên biểu thức được phân tích có nghĩa với mọi \(x \ge 0\).

Chúc các em luôn học tốt môn Toán!