Chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về phương trình lượng giác quen thuộc, đó là tìm số nghiệm của phương trình cosx + cos2x = 0 trong một khoảng cho trước. Các em hãy mở Sách giáo khoa trang 55, bài tập 1.6 nhé.

Đề bài yêu cầu chúng ta tìm số nghiệm của phương trình cosx + cos2x = 0 thuộc đoạn \([- \pi, \pi]\).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản

Nhớ lại các công thức lượng giác đã học, chúng ta có thể biến đổi cos2x. Một trong những công thức phổ biến nhất là:
\[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) – 1 \]

Bây giờ, chúng ta sẽ thay công thức này vào phương trình ban đầu:
cosx + (2cos^2(x) – 1) = 0

Sắp xếp lại các hạng tử theo bậc của cosx, ta được một phương trình bậc hai theo ẩn cosx:
2cos^2(x) + cosx – 1 = 0

Bước 2: Đặt ẩn phụ và giải phương trình bậc hai

Để phương trình trở nên dễ nhìn hơn, chúng ta sẽ đặt \( t = \cos x \).
Lưu ý rằng, vì \( \cos x \) luôn nằm trong khoảng \([-1, 1]\), nên điều kiện cho ẩn phụ \( t \) là \( -1 \le t \le 1 \).

Thay \( t \) vào phương trình, ta có:
2t^2 + t – 1 = 0

Đây là một phương trình bậc hai quen thuộc. Chúng ta có thể giải phương trình này bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm. Ở đây, chúng ta sẽ phân tích thành nhân tử:
(2t – 1)(t + 1) = 0

Từ đây, ta tìm được hai giá trị của \( t \):
t – 1 = 0 hoặc t + 1 = 0
t = 1/2 hoặc t = -1

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \( -1 \le t \le 1 \).

Bước 3: Tìm nghiệm của cosx tương ứng

Bây giờ, chúng ta sẽ thay \( t \) trở lại bằng \( \cos x \) và giải các phương trình lượng giác cơ bản:

Trường hợp 1: \( \cos x = \frac{1}{2} \)
Chúng ta biết rằng \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).
Do đó, phương trình trở thành:
\( \cos x = \cos \frac{\pi}{3} \)

Nghiệm tổng quát của phương trình này là:
\( x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \), với \( k \) là số nguyên.

Trường hợp 2: \( \cos x = -1 \)
Chúng ta biết rằng \( \cos \pi = -1 \).
Do đó, phương trình trở thành:
\( \cos x = \cos \pi \)

Nghiệm tổng quát của phương trình này là:
\( x = \pi + n\pi \), với \( n \) là số nguyên.
\( x = (n+1)\pi \)
Vì \( n \) là số nguyên nên \( n+1 \) cũng là số nguyên, ta có thể viết lại là \( x = m\pi \), với \( m \) là số nguyên. Tuy nhiên, để khớp với cách biểu diễn nghiệm của \( \cos x = \cos \alpha \), ta có thể viết \( x = \pi + n\pi \).

Bước 4: Tìm nghiệm thuộc đoạn [-π, π]

Bây giờ, chúng ta sẽ xét từng trường hợp nghiệm và tìm các giá trị \( x \) thuộc đoạn \([- \pi, \pi]\).

Đối với nghiệm \( x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \):
– Nếu \( k = 0 \), \( x = \frac{\pi}{3} \). Giá trị này thuộc đoạn \([- \pi, \pi]\).
– Nếu \( k = 1 \), \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \). Giá trị này lớn hơn \( \pi \), không thuộc đoạn.
– Nếu \( k = -1 \), \( x = \frac{\pi}{3} – 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \). Giá trị này nhỏ hơn \( – \pi \), không thuộc đoạn.

Đối với nghiệm \( x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \):
– Nếu \( k = 0 \), \( x = -\frac{\pi}{3} \). Giá trị này thuộc đoạn \([- \pi, \pi]\).
– Nếu \( k = 1 \), \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \). Giá trị này lớn hơn \( \pi \), không thuộc đoạn.
– Nếu \( k = -1 \), \( x = -\frac{\pi}{3} – 2\pi = -\frac{7\pi}{3} \). Giá trị này nhỏ hơn \( – \pi \), không thuộc đoạn.

Đối với nghiệm \( x = \pi + n\pi \):
– Nếu \( n = 0 \), \( x = \pi \). Giá trị này thuộc đoạn \([- \pi, \pi]\).
– Nếu \( n = 1 \), \( x = \pi + \pi = 2\pi \). Giá trị này lớn hơn \( \pi \), không thuộc đoạn.
– Nếu \( n = -1 \), \( x = \pi – \pi = 0 \). Giá trị này thuộc đoạn \([- \pi, \pi]\).
– Nếu \( n = -2 \), \( x = \pi – 2\pi = -\pi \). Giá trị này thuộc đoạn \([- \pi, \pi]\).

Như vậy, các nghiệm tìm được thuộc đoạn \([- \pi, \pi]\) là:
\( \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, \pi, 0, -\pi \)

Chúng ta đếm số nghiệm này. Có tất cả 5 nghiệm.

Kết luận

Vậy, phương trình cosx + cos2x = 0 có tất cả 5 nghiệm thuộc đoạn \([- \pi, \pi]\).

Các em thấy đó, bài toán tuy có vẻ phức tạp ban đầu nhưng khi chúng ta áp dụng đúng công thức và thực hiện từng bước một cách cẩn thận, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết được. Hãy nhớ ôn tập kỹ các công thức lượng giác và cách giải phương trình lượng giác cơ bản nhé!