Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về phương trình lượng giác, một dạng bài rất quen thuộc trong chương trình Toán lớp 11 của chúng ta. Thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán này nhé.

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm tổng các nghiệm của phương trình:
sin(2x – \(\frac{\pi}{4}\)) = sin(x + \(\frac{3\pi}{4}\))
thuộc khoảng (0; \(\pi\)).

Chúng ta sẽ đi từng bước một nhé.

Bước 1: Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
Chúng ta biết rằng, phương trình dạng sin(A) = sin(B) có hai trường hợp nghiệm chính:
Trường hợp 1: A = B + k2\(\pi\)
Trường hợp 2: A = \(\pi\) – B + k2\(\pi\)
trong đó k là số nguyên.

Áp dụng vào bài toán của chúng ta, với A = 2x – \(\frac{\pi}{4}\) và B = x + \(\frac{3\pi}{4}\).

Bước 2: Giải trường hợp 1.
2x – \(\frac{\pi}{4}\) = x + \(\frac{3\pi}{4}\) + k2\(\pi\)

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ chuyển các hạng tử chứa x về một vế và các hạng tử tự do về vế còn lại.
2x – x = \(\frac{3\pi}{4}\) + \(\frac{\pi}{4}\) + k2\(\pi\)
x = \(\frac{4\pi}{4}\) + k2\(\pi\)
x = \(\pi\) + k2\(\pi\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm các nghiệm x thỏa mãn điều kiện 0 < x < \(\pi\). Với x = \(\pi\) + k2\(\pi\), ta có: Nếu k = 0, x = \(\pi\). Giá trị này không thuộc khoảng (0; \(\pi\)) vì nó là điểm cuối. Nếu k = -1, x = \(\pi\) - 2\(\pi\) = -\(\pi\). Giá trị này nhỏ hơn 0, không thuộc khoảng. Nếu k > 0, x sẽ lớn hơn \(\pi\).
Do đó, trường hợp 1 không có nghiệm nào thuộc khoảng (0; \(\pi\)).

Bước 3: Giải trường hợp 2.
2x – \(\frac{\pi}{4}\) = \(\pi\) – (x + \(\frac{3\pi}{4}\)) + k2\(\pi\)
2x – \(\frac{\pi}{4}\) = \(\pi\) – x – \(\frac{3\pi}{4}\) + k2\(\pi\)

Tương tự, chúng ta chuyển các hạng tử chứa x về một vế và các hạng tử tự do về vế còn lại.
2x + x = \(\pi\) – \(\frac{3\pi}{4}\) + \(\frac{\pi}{4}\) + k2\(\pi\)
3x = \(\frac{4\pi – 3\pi + \pi}{4}\) + k2\(\pi\)
3x = \(\frac{2\pi}{4}\) + k2\(\pi\)
3x = \(\frac{\pi}{2}\) + k2\(\pi\)

Để tìm x, chúng ta chia cả hai vế cho 3.
x = \(\frac{\pi}{6}\) + \(\frac{k2\pi}{3}\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm các nghiệm x thỏa mãn điều kiện 0 < x < \(\pi\). Chúng ta sẽ thử các giá trị nguyên của k. Nếu k = 0, x = \(\frac{\pi}{6}\). Giá trị này thỏa mãn 0 < \(\frac{\pi}{6}\) < \(\pi\). Đây là một nghiệm. Nếu k = 1, x = \(\frac{\pi}{6}\) + \(\frac{2\pi}{3}\) = \(\frac{\pi + 4\pi}{6}\) = \(\frac{5\pi}{6}\). Giá trị này thỏa mãn 0 < \(\frac{5\pi}{6}\) < \(\pi\). Đây là một nghiệm. Nếu k = 2, x = \(\frac{\pi}{6}\) + \(\frac{4\pi}{3}\) = \(\frac{\pi + 8\pi}{6}\) = \(\frac{9\pi}{6}\) = \(\frac{3\pi}{2}\). Giá trị này lớn hơn \(\pi\), không thuộc khoảng. Nếu k = -1, x = \(\frac{\pi}{6}\) - \(\frac{2\pi}{3}\) = \(\frac{\pi - 4\pi}{6}\) = -\(\frac{3\pi}{6}\) = -\(\frac{\pi}{2}\). Giá trị này nhỏ hơn 0, không thuộc khoảng. Vậy, trong trường hợp 2, chúng ta có hai nghiệm thuộc khoảng (0; \(\pi\)) là x1 = \(\frac{\pi}{6}\) và x2 = \(\frac{5\pi}{6}\). Bước 4: Tính tổng các nghiệm. Đề bài yêu cầu tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng (0; \(\pi\)). Chúng ta đã tìm được các nghiệm thuộc khoảng này là \(\frac{\pi}{6}\) và \(\frac{5\pi}{6}\). Tổng các nghiệm = \(\frac{\pi}{6}\) + \(\frac{5\pi}{6}\) = \(\frac{6\pi}{6}\) = \(\pi\). Vậy, tổng các nghiệm của phương trình đã cho thuộc khoảng (0; \(\pi\)) là \(\pi\). Các em thấy đó, với phương pháp giải từng bước cẩn thận và áp dụng đúng công thức, chúng ta có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng. Hãy luôn ghi nhớ các bước giải và ôn tập kỹ các công thức lượng giác nhé! Chúc các em học tốt!