Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán rút gọn biểu thức lượng giác rất quen thuộc trong chương trình Toán 10. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ và công thức lượng giác cơ bản.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi rút gọn từng cụm biểu thức một cách riêng biệt: \(sin^6x+cos^6x\) và \(sin^4x+cos^4x\).

Bước 1: Rút gọn biểu thức \(sin^4x+cos^4x\)

Trước hết, các em cần nhớ lại hằng đẳng thức quen thuộc: \(a^2+b^2 = (a+b)^2 – 2ab\).

Áp dụng hằng đẳng thức này với \(a = sin^2x\) và \(b = cos^2x\), ta có:
\[sin^4x+cos^4x = (sin^2x)^2 + (cos^2x)^2 = (sin^2x+cos^2x)^2 – 2sin^2xcos^2x\]
Mà chúng ta có công thức lượng giác cơ bản \(sin^2x+cos^2x = 1\). Thay vào biểu thức trên, ta được:
\[sin^4x+cos^4x = 1^2 – 2sin^2xcos^2x = 1 – 2sin^2xcos^2x\]
Như vậy, ta đã rút gọn xong biểu thức đầu tiên.

Bước 2: Rút gọn biểu thức \(sin^6x+cos^6x\)

Tương tự, ta sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương: \(a^3+b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b)\).

Áp dụng với \(a = sin^2x\) và \(b = cos^2x\), ta có:
\[sin^6x+cos^6x = (sin^2x)^3 + (cos^2x)^3 = (sin^2x+cos^2x)^3 – 3sin^2xcos^2x(sin^2x+cos^2x)\]
Tiếp tục thay \(sin^2x+cos^2x = 1\) vào, ta được:
\[sin^6x+cos^6x = 1^3 – 3sin^2xcos^2x(1) = 1 – 3sin^2xcos^2x\]

Bước 3: Thay các kết quả vừa tìm được vào biểu thức ban đầu và rút gọn

Đặt biểu thức cần rút gọn là P. Ta có:

P = 2(sin^6x+cos^6x) – 3(sin^4x+cos^4x)

Thay kết quả từ Bước 1 và Bước 2 vào, ta được:
\[P = 2(1 – 3sin^2xcos^2x) – 3(1 – 2sin^2xcos^2x)\]
Bây giờ, chúng ta chỉ cần thực hiện phép nhân và rút gọn:
\[P = 2 – 6sin^2xcos^2x – 3 + 6sin^2xcos^2x\]
Nhóm các số hạng lại với nhau:
\[P = (2 – 3) + (-6sin^2xcos^2x + 6sin^2xcos^2x)\]
\[P = -1 + 0\]
\[P = -1\]

Kết luận:

Vậy, giá trị của biểu thức đã cho sau khi rút gọn là -1.

Đây là một kết quả rất đẹp và bất ngờ phải không các em? Biểu thức ban đầu trông rất phức tạp nhưng kết quả cuối cùng lại là một hằng số. Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc nắm vững các hằng đẳng thức và công thức lượng giác cơ bản. Chúc các em học tốt