Rút gọn biểu thức B=(\(\frac{1}{cos2x}\)+1) × tanx
Đề bài: Rút gọn biểu thức \(B = (\frac{1}{\cos(2x)} + 1) \times \tan(x)\)
Bài giải chi tiết:
Trước hết, các em cần xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa:
\(\cos(2x) \neq 0\) và \(\cos(x) \neq 0\) (vì \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)).
Bước 1: Quy đồng mẫu số trong dấu ngoặc.
Ta thấy trong dấu ngoặc là một tổng, để tính toán, ta sẽ quy đồng mẫu số.
\[B = (\frac{1}{\cos(2x)} + \frac{\cos(2x)}{\cos(2x)}) \times \tan(x)\]
\[B = \frac{1 + \cos(2x)}{\cos(2x)} \times \tan(x)\]
Bước 2: Áp dụng các công thức lượng giác đã học.
Đến đây, các em hãy nhớ lại các công thức nhân đôi mà chúng ta đã học trong chương VI (Lượng giác):
– Công thức hạ bậc (biến đổi từ công thức nhân đôi \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) – 1\)):
\[1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)\]
– Công thức định nghĩa của tan:
\[\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\]
Bây giờ, chúng ta sẽ thay các công thức này vào biểu thức B.
Bước 3: Thay thế và rút gọn.
Thay \(1 + \cos(2x)\) bằng \(2\cos^2(x)\) và \(\tan(x)\) bằng \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\), ta có:
\[B = \frac{2\cos^2(x)}{\cos(2x)} \times \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\]
Ta thấy có thể rút gọn \(\cos(x)\) ở tử số và mẫu số (với điều kiện \(\cos(x) \neq 0\)).
\[B = \frac{2\cos(x)\sin(x)}{\cos(2x)}\]
Bước 4: Tiếp tục áp dụng công thức nhân đôi.
Các em có nhận ra biểu thức \(2\sin(x)\cos(x)\) ở tử số không? Đây chính là công thức nhân đôi của sin:
\[\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\]
Thay công thức này vào biểu thức B, ta được:
\[B = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\]
Bước 5: Đưa về kết quả cuối cùng.
Cuối cùng, ta lại áp dụng công thức định nghĩa của tan, nhưng lần này là cho góc \(2x\):
\[\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\]
Vậy, biểu thức của chúng ta trở thành:
\[B = \tan(2x)\]
Kết luận:
Vậy, biểu thức \(B = (\frac{1}{\cos(2x)} + 1) \times \tan(x)\) sau khi rút gọn là \(\tan(2x)\).
Đây là một bài tập rất tốt để các em ôn lại các công thức nhân đôi. Hãy ghi nhớ và luyện tập thường xuyên để sử dụng thành thạo nhé! Chúc các em học tốt
Đáp án:
\(\tan 2x.\)
Giải thích các bước giải:
\(B=\left(\dfrac{1}{\cos 2x}+1 \right) \tan x\\ =\dfrac{\cos 2x+1}{\cos 2x}. \tan x\\ =\dfrac{2\cos^2x -1 + 1}{\cos 2x}. \tan x\\ =\dfrac{2\cos^2x}{\cos 2x}. \dfrac{\sin x}{\cos x}\\ =\dfrac{2\cos x\sin x}{\cos 2x}\\ =\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}\\ =\tan 2x.\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
\(B = (\frac{1}{cos2x} + 1) . tanx\)
\( = \frac{1 + cos2x}{cos2x} . tanx\)
\( = \frac{ sin^2x + cos^2x + cos^2x – sin^2x}{cos2x} . tan x\)
\( = \frac{2cos^2x}{cos2x}. tanx\)
\( = \frac{2cosx.sinx}{cos2x} = \fracc{sin2x}{cos2x} = tan2x\)