Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài tập này nhé. Đây là dạng bài rút gọn biểu thức lượng giác cơ bản, mấu chốt là các em cần nắm vững các công thức về góc có liên quan đặc biệt (còn gọi là cung liên kết). Chúng ta hãy cùng nhau phân tích từng biểu thức một.

a) Rút gọn biểu thức A

Chúng ta sẽ xét từng số hạng trong biểu thức A:

• Với \( \cos (\frac{π}{2} + x) \): Đây là mối quan hệ giữa hai góc phụ nhau và hơn kém \( \frac{π}{2} \). Ta áp dụng công thức “cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tan cot, hơn kém \( \frac{π}{2} \) chéo sin”. Cụ thể, ta có công thức:
  \[ \cos (\frac{π}{2} + x) = – \sin x \]
• Với \( \cos (2π – x) \): Hàm số cosin có chu kì là \( 2π \), nghĩa là \( \cos(\alpha + k2π) = \cos \alpha \) với k là số nguyên. Do đó:
  \[ \cos (2π – x) = \cos(-x) \]
  Mặt khác, hàm cosin là hàm chẵn nên \( \cos(-x) = \cos x \).
  
  Vậy:
  \[ \cos (2π – x) = \cos x \]
• Với \( \cos (3π + x) \): Ta có thể tách \( 3π = 2π + π \).
  \[ \cos (3π + x) = \cos (2π + π + x) \]
  Áp dụng tính tuần hoàn chu kì \( 2π \) của hàm cosin, ta được:
  \[ \cos (2π + π + x) = \cos(π + x) \]
  Đây là mối quan hệ giữa hai góc hơn kém nhau \( π \). Ta có công thức:
  \[ \cos(π + x) = – \cos x \]

Bây giờ, chúng ta thay các kết quả vừa rồi vào biểu thức A:

A = \( (-\sin x) + (\cos x) + (-\cos x) \)

A = \( -\sin x + \cos x – \cos x \)

A = \( -\sin x \)

Vậy, biểu thức A sau khi rút gọn là \( A = -\sin x \).

b) Rút gọn biểu thức B

Tương tự như câu a, ta sẽ đi biến đổi từng số hạng phức tạp trong biểu thức B.

• Với \( \cos(π – x) \): Đây là hai góc bù nhau. Ta có công thức:
  \[ \cos(π – x) = -\cos x \]
• Với \( \sin( \frac{7π}{2} – x) \): Ta thấy \( \frac{7π}{2} \) là một góc lớn, ta có thể tách nó ra.
  \[ \frac{7π}{2} = \frac{6π}{2} + \frac{π}{2} = 3π + \frac{π}{2} \]
  Do đó:
  \[ \sin(\frac{7π}{2} – x) = \sin(3π + \frac{π}{2} – x) \]
  Ta có \( \sin(\alpha + 3π) = \sin(\alpha + π + 2π) = \sin(\alpha + π) = -\sin \alpha \). Áp dụng vào biểu thức trên:
  \[ \sin(3π + (\frac{π}{2} – x)) = -\sin(\frac{π}{2} – x) \]
  Đây là hai góc phụ nhau, nên \( \sin(\frac{π}{2} – x) = \cos x \).
  
  Vậy:
  \[ \sin(\frac{7π}{2} – x) = -\cos x \]
• Với \( \cot (\frac{3π}{2} – x) \): Đây là mối quan hệ hơn kém \( \frac{3π}{2} \). Ta có công thức:
  \[ \cot(\frac{3π}{2} – x) = \tan x \]

Bây giờ, ta thay thế tất cả các kết quả này vào biểu thức B:

B = \( 2\cos x – 3(-\cos x) + 5(-\cos x) + \tan x \)

B = \( 2\cos x + 3\cos x – 5\cos x + \tan x \)

B = \( (2 + 3 – 5)\cos x + \tan x \)

B = \( 0 \cdot \cos x + \tan x \)

B = \( \tan x \)

Vậy, biểu thức B sau khi rút gọn là \( B = \tan x \).

Các em thấy đấy, chỉ cần chúng ta nắm vững các công thức lượng giác cơ bản trong sách giáo khoa thì việc giải quyết các bài toán này không hề khó. Hãy chắc chắn rằng các em đã ghi nhớ các công thức về cung liên kết nhé. Chúc các em học tốt