Chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau luyện tập kỹ năng rút gọn phân thức đại số. Đây là một kỹ năng rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 và sẽ theo các em trong suốt quá trình học tập sau này. Chúng ta sẽ cùng nhau đi vào từng bài tập một, dựa trên kiến thức đã học trong Sách giáo khoa.

Trước khi bắt đầu, các em hãy nhớ lại các quy tắc cơ bản khi rút gọn phân thức:
1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử (nếu có thể).
2. Tìm nhân tử chung giữa tử thức và mẫu thức.
3. Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung đó.

Các em đã sẵn sàng chưa nào? Chúng ta bắt đầu với câu a) nhé!

a) Rút gọn phân thức: 2(x+1)^2 / 4x(x+1)

Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử.
Tử thức đã được phân tích sẵn: \( 2(x+1)^2 \)
Mẫu thức đã được phân tích sẵn: \( 4x(x+1) \)

Bước 2: Tìm nhân tử chung.
Ta thấy:
– Ở tử thức có \( (x+1)^2 \), tức là \( (x+1)(x+1) \).
– Ở mẫu thức có \( (x+1) \).
Vậy nhân tử chung là \( (x+1) \).
Ngoài ra, chúng ta còn có các hệ số 2 và 4. Số 2 là ước chung của 2 và 4.

Bước 3: Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung.
Ta viết lại phân thức như sau:
\( \frac{2(x+1)^2}{4x(x+1)} = \frac{2 \cdot (x+1) \cdot (x+1)}{2 \cdot 2 \cdot x \cdot (x+1)} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ rút gọn các nhân tử chung ở cả tử và mẫu:
– Rút gọn số 2: \( \frac{\cancel{2} \cdot (x+1) \cdot (x+1)}{\cancel{2} \cdot 2 \cdot x \cdot (x+1)} \)
– Rút gọn \( (x+1) \): \( \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{(x+1)} \cdot (x+1)}{\cancel{2} \cdot 2 \cdot x \cdot \cancel{(x+1)}} \)

Sau khi rút gọn, ta còn lại:
\( \frac{x+1}{2x} \)

Lưu ý: Để phân thức ban đầu có nghĩa, mẫu thức phải khác 0, tức là \( 4x(x+1) \neq 0 \). Điều này tương đương với \( x \neq 0 \) và \( x \neq -1 \).

Vậy, phân thức rút gọn là: \( \frac{x+1}{2x} \)

—

b) Rút gọn phân thức: (8-x)(-x-2) / (x+2)^2

Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử.
Mẫu thức đã được phân tích sẵn: \( (x+2)^2 = (x+2)(x+2) \)

Tử thức: \( (8-x)(-x-2) \)
Chúng ta có thể biến đổi tử thức một chút để dễ dàng rút gọn với mẫu.
Nhân tử \( (-x-2) \) có thể viết lại thành \( -(x+2) \).
Vậy tử thức trở thành: \( (8-x) \cdot -(x+2) = -(8-x)(x+2) \)

Bước 2: Tìm nhân tử chung.
Tử thức: \( -(8-x)(x+2) \)
Mẫu thức: \( (x+2)(x+2) \)
Nhân tử chung là \( (x+2) \).

Bước 3: Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung.
Ta viết lại phân thức:
\( \frac{-(8-x)(x+2)}{(x+2)(x+2)} \)

Rút gọn nhân tử chung \( (x+2) \):
\( \frac{-(8-x)\cancel{(x+2)}}{(x+2)\cancel{(x+2)}} \)

Ta còn lại:
\( \frac{-(8-x)}{x+2} \)

Chúng ta có thể biến đổi thêm một chút để cho đẹp hơn. Nhân dấu trừ vào tử thức:
\( \frac{-(8-x)}{x+2} = \frac{-8 + x}{x+2} = \frac{x-8}{x+2} \)

Lưu ý: Để phân thức ban đầu có nghĩa, mẫu thức phải khác 0, tức là \( (x+2)^2 \neq 0 \), hay \( x+2 \neq 0 \), suy ra \( x \neq -2 \).

Vậy, phân thức rút gọn là: \( \frac{x-8}{x+2} \)

—

c) Rút gọn phân thức: 2(x-y) / y-x

Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử.
Tử thức đã được phân tích sẵn: \( 2(x-y) \)

Mẫu thức: \( y-x \)
Chúng ta có thể biến đổi mẫu thức để có nhân tử giống tử thức.
\( y-x = -(x-y) \)

Bước 2: Tìm nhân tử chung.
Tử thức: \( 2(x-y) \)
Mẫu thức: \( -(x-y) \)
Nhân tử chung là \( (x-y) \).

Bước 3: Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung.
Ta viết lại phân thức:
\( \frac{2(x-y)}{-(x-y)} \)

Rút gọn nhân tử chung \( (x-y) \):
\( \frac{2\cancel{(x-y)}}{-\cancel{(x-y)}} \)

Ta còn lại:
\( \frac{2}{-1} = -2 \)

Lưu ý: Để phân thức ban đầu có nghĩa, mẫu thức phải khác 0, tức là \( y-x \neq 0 \), hay \( x \neq y \).

Vậy, phân thức rút gọn là: \( -2 \)

—

d) Rút gọn phân thức: x^3+3x^2+3x+1 / x^2+x

Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử.

Tử thức: \( x^3+3x^2+3x+1 \)
Các em có nhận ra đây là dạng của hằng đẳng thức nào không? Đúng rồi, đây chính là hằng đẳng thức lập phương của một tổng: \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \).
Với \( a=x \) và \( b=1 \), ta có: \( (x+1)^3 = x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1^3 = x^3+3x^2+3x+1 \).
Vậy tử thức có thể viết lại là: \( (x+1)^3 = (x+1)(x+1)(x+1) \).

Mẫu thức: \( x^2+x \)
Chúng ta có thể đặt nhân tử chung là \( x \): \( x^2+x = x(x+1) \).

Bước 2: Tìm nhân tử chung.
Tử thức: \( (x+1)(x+1)(x+1) \)
Mẫu thức: \( x(x+1) \)
Nhân tử chung là \( (x+1) \).

Bước 3: Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung.
Ta viết lại phân thức:
\( \frac{(x+1)(x+1)(x+1)}{x(x+1)} \)

Rút gọn nhân tử chung \( (x+1) \):
\( \frac{\cancel{(x+1)}(x+1)(x+1)}{x\cancel{(x+1)}} \)

Ta còn lại:
\( \frac{(x+1)(x+1)}{x} = \frac{(x+1)^2}{x} \)

Lưu ý: Để phân thức ban đầu có nghĩa, mẫu thức phải khác 0, tức là \( x^2+x \neq 0 \), hay \( x(x+1) \neq 0 \). Điều này tương đương với \( x \neq 0 \) và \( x \neq -1 \).

Vậy, phân thức rút gọn là: \( \frac{(x+1)^2}{x} \)

—

e) Rút gọn phân thức: x^3-3x^2+3x-1 / 2x-2

Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử.

Tử thức: \( x^3-3x^2+3x-1 \)
Các em có nhận ra đây là dạng của hằng đẳng thức nào không? Đúng rồi, đây là hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: \( (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \).
Với \( a=x \) và \( b=1 \), ta có: \( (x-1)^3 = x^3 – 3x^2(1) + 3x(1)^2 – 1^3 = x^3-3x^2+3x-1 \).
Vậy tử thức có thể viết lại là: \( (x-1)^3 = (x-1)(x-1)(x-1) \).

Mẫu thức: \( 2x-2 \)
Chúng ta có thể đặt nhân tử chung là 2: \( 2x-2 = 2(x-1) \).

Bước 2: Tìm nhân tử chung.
Tử thức: \( (x-1)(x-1)(x-1) \)
Mẫu thức: \( 2(x-1) \)
Nhân tử chung là \( (x-1) \).

Bước 3: Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung.
Ta viết lại phân thức:
\( \frac{(x-1)(x-1)(x-1)}{2(x-1)} \)

Rút gọn nhân tử chung \( (x-1) \):
\( \frac{\cancel{(x-1)}(x-1)(x-1)}{2\cancel{(x-1)}} \)

Ta còn lại:
\( \frac{(x-1)(x-1)}{2} = \frac{(x-1)^2}{2} \)

Lưu ý: Để phân thức ban đầu có nghĩa, mẫu thức phải khác 0, tức là \( 2x-2 \neq 0 \), hay \( 2(x-1) \neq 0 \). Điều này tương đương với \( x-1 \neq 0 \), suy ra \( x \neq 1 \).

Vậy, phân thức rút gọn là: \( \frac{(x-1)^2}{2} \)

—

Các em thấy đó, việc rút gọn phân thức không quá khó khăn nếu chúng ta nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử. Hãy ôn tập thật kỹ các bài tập này và thực hành thêm nhiều bài tập khác để trở nên thành thạo nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy. Chúc các em học tốt!