Rút gọn Sin10×sin50×sin 70

Kính chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rút gọn biểu thức lượng giác rất thú vị và quen thuộc trong chương trình Toán lớp 11 của chúng ta. Bài toán yêu cầu chúng ta rút gọn tích của ba số hạng sin.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức biến đổi tích thành tổng và các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt. Đặc biệt, chúng ta sẽ khai thác một công thức nâng cao (nhưng hoàn toàn có thể được suy ra từ các công thức cơ bản đã học) để bài toán trở nên gọn gàng hơn. Lý do chọn phương pháp này là vì nó giúp chúng ta chuyển đổi tích của nhiều số hạng về dạng tổng hoặc một số hạng đơn giản hơn, từ đó dễ dàng tính toán giá trị cuối cùng.

LỜI GIẢI CHI TIẾT:

Để tiện cho việc giải, chúng ta hãy đặt biểu thức cần rút gọn là $P$.

Chúng ta có: $$P=\sin (10°)\sin (50°)\sin (70°)$$

Chúng ta nhận thấy các góc $10°$, $50°$, $70°$ có mối liên hệ đặc biệt với góc $60°$. Cụ thể:

• $50°=60°–10°$
• $70°=60°+10°$

Do đó, biểu thức của chúng ta có dạng: $\sin \left(x\right)\sin (60°–x)\sin (60°+x)$ với $x=10°$.

Chúng ta sẽ đi chứng minh công thức tổng quát sau đây, bằng cách sử dụng các công thức biến đổi tích thành tổng đã học trong chương trình lớp 11.

Bước 1: Chứng minh công thức phụ

Xét tích $\sin (60°–x)\sin (60°+x)$.

Chúng ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: $$\sin \left(A\right)\sin \left(B\right)=\frac{1}{2}[\cos (A–B)–\cos (A+B)]$$

Áp dụng công thức với $A=60°–x$ và $B=60°+x$ (hoặc ngược lại, kết quả không đổi):

$$\sin (60°–x)\sin (60°+x)=\frac{1}{2}[\cos ((60°–x)–(60°+x))–\cos ((60°–x)+(60°+x))]$$

$$=\frac{1}{2}[\cos (–2x)–\cos (120°)]$$

Vì hàm cos là hàm chẵn ($\cos (–\alpha )=\cos \left(\alpha \right)$) và $\cos (120°)=\cos (180°–60°)=–\cos (60°)=–\frac{1}{2}$, ta có:

$$=\frac{1}{2}[\cos \left(2x\right)–(–\frac{1}{2})]$$

$$=\frac{1}{2}[\cos \left(2x\right)+\frac{1}{2}]$$

$$=\frac{1}{2}\cos \left(2x\right)+\frac{1}{4}$$

Bước 2: Chứng minh công thức tổng quát

Bây giờ, chúng ta nhân kết quả trên với $\sin \left(x\right)$:

$$\sin \left(x\right)\sin (60°–x)\sin (60°+x)=\sin \left(x\right)[\frac{1}{2}\cos \left(2x\right)+\frac{1}{4}]$$

$$=\frac{1}{2}\sin \left(x\right)\cos \left(2x\right)+\frac{1}{4}\sin \left(x\right)$$

Tiếp tục sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho $\sin \left(A\right)\cos \left(B\right)$:

$$\sin \left(A\right)\cos \left(B\right)=\frac{1}{2}[\sin (A+B)+\sin (A–B)]$$

Áp dụng với $A=x$ và $B=2x$:

$$\frac{1}{2}\sin \left(x\right)\cos \left(2x\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}[\sin (x+2x)+\sin (x–2x)]$$

$$=\frac{1}{4}[\sin \left(3x\right)+\sin (–x)]$$

Vì hàm sin là hàm lẻ ($\sin (–\alpha )=–\sin \left(\alpha \right)$), ta có:

$$=\frac{1}{4}[\sin \left(3x\right)–\sin \left(x\right)]$$

Thay kết quả này trở lại biểu thức ban đầu:

$$\sin \left(x\right)\sin (60°–x)\sin (60°+x)=\frac{1}{4}[\sin \left(3x\right)–\sin \left(x\right)]+\frac{1}{4}\sin \left(x\right)$$

$$=\frac{1}{4}\sin \left(3x\right)–\frac{1}{4}\sin \left(x\right)+\frac{1}{4}\sin \left(x\right)$$

$$=\frac{1}{4}\sin \left(3x\right)$$

Vậy, chúng ta đã chứng minh được công thức: $$\sin \left(x\right)\sin (60°–x)\sin (60°+x)=\frac{1}{4}\sin \left(3x\right)$$

Bước 3: Áp dụng công thức vào bài toán

Trong bài toán của chúng ta, $x=10°$.

Áp dụng công thức vừa chứng minh:

$$P=\sin (10°)\sin (50°)\sin (70°)$$

$$=\sin (10°)\sin (60°–10°)\sin (60°+10°)$$

$$=\frac{1}{4}\sin (3\times 10°)$$

$$=\frac{1}{4}\sin (30°)$$

Chúng ta biết rằng $\sin (30°)=\frac{1}{2}$.

Vậy, thay giá trị vào biểu thức cuối cùng:

$$P=\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}$$

$$P=\frac{1}{8}$$

KẾT LUẬN:

Giá trị rút gọn của biểu thức $\sin (10°)\sin (50°)\sin (70°)$ là $\frac{1}{8}$.

Hy vọng bài giải chi tiết này giúp các em hiểu rõ cách áp dụng các công thức lượng giác để giải quyết các bài toán rút gọn. Hãy luôn tìm tòi và chứng minh các công thức phụ để làm chủ kiến thức nhé!