Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập rút gọn biểu thức lượng giác khá thú vị. Các em giở sách giáo khoa trang 149, bài tập số 4 nhé. Chúng ta sẽ cùng nhau làm bài tập B.

B = \(\frac{cosx+cos2x+cos3x}{sinx+sin2x+sin3x}\)

Để làm được bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức cộng và công thức biến đổi tổng thành tích mà chúng ta đã học.

Bước 1: Nhóm các số hạng và áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích.

Chúng ta sẽ nhóm số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng lại để dễ dàng áp dụng công thức.

Ở tử số, ta nhóm (cosx + cos3x) và giữ nguyên cos2x.
Tử số = (cosx + cos3x) + cos2x

Ở mẫu số, ta nhóm (sinx + sin3x) và giữ nguyên sin2x.
Mẫu số = (sinx + sin3x) + sin2x

Bây giờ, ta áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích:
cos A + cos B = \(2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}\)
sin A + sin B = \(2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}\)

Áp dụng cho tử số:
cosx + cos3x = \(2cos\frac{x+3x}{2}cos\frac{x-3x}{2}\) = \(2cos\frac{4x}{2}cos\frac{-2x}{2}\) = \(2cos2x cos(-x)\)
Vì cos(-x) = cosx, nên ta có: cosx + cos3x = \(2cos2x cosx\)

Áp dụng cho mẫu số:
sinx + sin3x = \(2sin\frac{x+3x}{2}cos\frac{x-3x}{2}\) = \(2sin\frac{4x}{2}cos\frac{-2x}{2}\) = \(2sin2x cos(-x)\)
Vì cos(-x) = cosx, nên ta có: sinx + sin3x = \(2sin2x cosx\)

Vậy, biểu thức B trở thành:
B = \(\frac{2cos2x cosx + cos2x}{2sin2x cosx + sin2x}\)

Bước 2: Đặt nhân tử chung.

Ta thấy ở tử số, cos2x là nhân tử chung.
Tử số = cos2x (2cosx + 1)

Ta thấy ở mẫu số, sin2x là nhân tử chung.
Mẫu số = sin2x (2cosx + 1)

Bây giờ, biểu thức B có dạng:
B = \(\frac{cos2x (2cosx + 1)}{sin2x (2cosx + 1)}\)

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

Nếu (2cosx + 1) khác 0, ta có thể rút gọn biểu thức này.

B = \(\frac{cos2x}{sin2x}\)

Bước 4: Áp dụng công thức lượng giác để rút gọn tiếp.

Chúng ta biết rằng \(\frac{cos\alpha}{sin\alpha} = cot\alpha\).
Áp dụng công thức này với \(\alpha = 2x\), ta được:

B = cot2x

Vậy, biểu thức B được rút gọn thành cot2x.

Để biểu thức có nghĩa, chúng ta cần lưu ý điều kiện:
Mẫu số \(sinx+sin2x+sin3x \neq 0\).
Và điều kiện để rút gọn (2cosx + 1) \(\neq 0\), tức là cosx \(\neq -\frac{1}{2}\).
Và điều kiện để cot2x có nghĩa, tức là sin2x \(\neq 0\).

Tuy nhiên, trong bài tập rút gọn thông thường, chúng ta chỉ cần đưa về dạng đơn giản nhất.

Vậy, kết quả cuối cùng là cot2x.

Các em thấy không, chỉ cần nắm vững công thức và thực hiện từng bước cẩn thận là chúng ta có thể giải được bài toán này. Có em nào có thắc mắc gì không?