Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán về lượng giác, một chủ đề quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta.

Đề bài yêu cầu chúng ta xác định tính đúng sai của mệnh đề:
sin a + cos a = 1

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các kiến thức về mối quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của một góc. Các em còn nhớ công thức nào liên quan đến sin và cos không? À đúng rồi, đó là công thức:
\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]
Đây là một công thức cơ bản và rất quan trọng mà chúng ta đã được học.

Bây giờ, chúng ta hãy quay lại với mệnh đề đề bài cho: sin a + cos a = 1.
Để kiểm tra xem mệnh đề này đúng hay sai, chúng ta có thể thử với một vài giá trị của góc a.

Trường hợp 1: Nếu a = 0 độ.
Ta có:
sin 0 độ = 0
cos 0 độ = 1
Khi đó, sin 0 độ + cos 0 độ = 0 + 1 = 1.
Trong trường hợp này, mệnh đề đúng.

Trường hợp 2: Nếu a = 90 độ.
Ta có:
sin 90 độ = 1
cos 90 độ = 0
Khi đó, sin 90 độ + cos 90 độ = 1 + 0 = 1.
Trong trường hợp này, mệnh đề cũng đúng.

Tuy nhiên, để kết luận một mệnh đề là đúng hay sai một cách tổng quát, chúng ta cần xem xét liệu nó có đúng với MỌI giá trị của góc a hay không.
Hãy thử một trường hợp khác xem sao.

Trường hợp 3: Nếu a = 30 độ.
Ta có:
sin 30 độ = 1/2
cos 30 độ = \(\sqrt{3}/2\)
Khi đó, sin 30 độ + cos 30 độ = 1/2 + \(\sqrt{3}/2\) = (1 + \(\sqrt{3}\))/2.
Giá trị này KHÔNG bằng 1. Bởi vì \(\sqrt{3}\) xấp xỉ 1.732, nên (1 + 1.732)/2 = 2.732/2 = 1.366, rõ ràng là khác 1.

Vì chúng ta đã tìm được một trường hợp mà mệnh đề sin a + cos a = 1 không đúng (ví dụ: a = 30 độ), nên chúng ta có thể kết luận rằng mệnh đề này là SAI.

Nói cách khác, để mệnh đề sin a + cos a = 1 đúng, thì góc a phải thỏa mãn một điều kiện cụ thể, chứ không phải đúng với mọi góc a.

Để hiểu rõ hơn, chúng ta có thể bình phương hai vế của phương trình sin a + cos a = 1 (nếu chúng ta giả sử nó đúng):
(sin a + cos a)^2 = 1^2
Mở rộng biểu thức này, ta được:
sin^2 a + 2 sin a cos a + cos^2 a = 1
Sử dụng công thức \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), ta thay vào phương trình trên:
1 + 2 sin a cos a = 1
Trừ 1 ở cả hai vế:
2 sin a cos a = 0
Chia cả hai vế cho 2:
sin a cos a = 0

Điều này có nghĩa là sin a = 0 hoặc cos a = 0.
sin a = 0 khi a = k\(\pi\) (với k là số nguyên).
cos a = 0 khi a = \(\pi/2\) + k\(\pi\) (với k là số nguyên).

Vậy, chỉ khi góc a thuộc một trong hai trường hợp trên thì sin a + cos a mới bằng 1.
Ví dụ, khi a = 0, sin 0 + cos 0 = 0 + 1 = 1.
Khi a = \(\pi/2\), sin \(\pi/2\) + cos \(\pi/2\) = 1 + 0 = 1.

Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra là mệnh đề “sin a + cos a = 1” đúng hay sai. Vì nó không đúng với MỌI góc a, nên chúng ta kết luận nó là SAI.

Vậy, mệnh đề “sin a + cos a = 1” là SAI.

Các em nhớ rằng, một mệnh đề toán học chỉ được coi là đúng khi nó đúng trong mọi trường hợp có thể xảy ra. Nếu chỉ cần một trường hợp phản ví dụ là nó sai, thì mệnh đề đó sẽ bị bác bỏ.

Chúc các em học tốt!