Kính chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy rất vui được cùng các em khám phá một bài toán thú vị về lượng giác, một chủ đề trọng tâm trong chương trình Toán 10 của chúng ta. Bài toán này sẽ giúp chúng ta ôn lại và vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác cơ bản và công thức nhân đôi.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

—

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi theo từng bước một, sử dụng các công thức lượng giác đã học một cách khéo léo.

Đề bài: Cho \(\sin a + \cos a = \frac{1}{2}\). Tính \(\sin 2a\), \(\cos 2a\), \(\tan 2a\), \(\cot 2a\).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính \(\sin 2a\)

Để tìm \(\sin 2a\), chúng ta nhớ đến công thức nhân đôi: \(\sin 2a = 2 \sin a \cos a\). Làm thế nào để có \(2 \sin a \cos a\) từ \(\sin a + \cos a\)? Một phương pháp rất hiệu quả là bình phương hai vế của biểu thức đã cho.

Ta có:

\[ (\sin a + \cos a)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]

Áp dụng công thức khai triển \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\), ta được:

\[ \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a = \frac{1}{4} \]

Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử lại và áp dụng các công thức lượng giác cơ bản:

\[ (\sin^2 a + \cos^2 a) + 2 \sin a \cos a = \frac{1}{4} \]

Chúng ta biết rằng:

• Công thức lượng giác cơ bản: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\)
• Công thức nhân đôi: \(2 \sin a \cos a = \sin 2a\)

Thay các công thức này vào biểu thức trên, ta có:

\[ 1 + \sin 2a = \frac{1}{4} \]

Từ đó, chúng ta dễ dàng tính được \(\sin 2a\):

\[ \sin 2a = \frac{1}{4} – 1 \]
\[ \sin 2a = -\frac{3}{4} \]

Vậy, chúng ta đã tìm được giá trị đầu tiên: \(\sin 2a = -\frac{3}{4}\).

Bước 2: Tính \(\cos 2a\)

Sau khi đã có \(\sin 2a\), để tìm \(\cos 2a\), chúng ta sẽ sử dụng một công thức lượng giác cơ bản rất quen thuộc, đó là \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Áp dụng công thức này cho góc \(2a\), ta có:

\[ \sin^2 2a + \cos^2 2a = 1 \]

Thay giá trị của \(\sin 2a\) vừa tìm được vào biểu thức:

\[ \left(-\frac{3}{4}\right)^2 + \cos^2 2a = 1 \]
\[ \frac{9}{16} + \cos^2 2a = 1 \]

Chuyển vế để tìm \(\cos^2 2a\):

\[ \cos^2 2a = 1 – \frac{9}{16} \]
\[ \cos^2 2a = \frac{16 – 9}{16} \]
\[ \cos^2 2a = \frac{7}{16} \]

Để tìm \(\cos 2a\), chúng ta lấy căn bậc hai của \(\frac{7}{16}\). Lưu ý rằng khi lấy căn bậc hai, chúng ta phải xét cả trường hợp dương và âm:

\[ \cos 2a = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} \]
\[ \cos 2a = \pm \frac{\sqrt{7}}{4} \]

Trong trường hợp này, đề bài không cho thêm điều kiện về góc \(a\) (ví dụ như \(a\) nằm trong khoảng nào), nên chúng ta không thể xác định được dấu của \(\cos 2a\). Do đó, có hai giá trị có thể của \(\cos 2a\): \(\frac{\sqrt{7}}{4}\) hoặc \(-\frac{\sqrt{7}}{4}\).

Bước 3: Tính \(\tan 2a\)

Để tính \(\tan 2a\), chúng ta dùng định nghĩa của hàm tang, đó là tỉ số giữa \(\sin 2a\) và \(\cos 2a\).

\[ \tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} \]

Điều kiện để \(\tan 2a\) xác định là \(\cos 2a \neq 0\). Vì \(\cos 2a = \pm \frac{\sqrt{7}}{4} \neq 0\), nên \(\tan 2a\) luôn xác định.

Thay các giá trị đã tìm được vào:

\[ \tan 2a = \frac{-3/4}{\pm \sqrt{7}/4} \]

Rút gọn biểu thức:

\[ \tan 2a = \mp \frac{3}{\sqrt{7}} \]

Để làm đẹp biểu thức, chúng ta có thể trục căn thức ở mẫu:

\[ \tan 2a = \mp \frac{3\sqrt{7}}{7} \]

Vậy, \(\tan 2a\) có hai giá trị: \(-\frac{3\sqrt{7}}{7}\) hoặc \(\frac{3\sqrt{7}}{7}\).

Bước 4: Tính \(\cot 2a\)

Cuối cùng, \(\cot 2a\) là nghịch đảo của \(\tan 2a\).

\[ \cot 2a = \frac{1}{\tan 2a} \]

Điều kiện để \(\cot 2a\) xác định là \(\tan 2a \neq 0\). Vì \(\tan 2a = \mp \frac{3\sqrt{7}}{7} \neq 0\), nên \(\cot 2a\) luôn xác định.

Thay giá trị của \(\tan 2a\) đã tìm được vào:

\[ \cot 2a = \frac{1}{\mp \frac{3\sqrt{7}}{7}} \]
\[ \cot 2a = \mp \frac{7}{3\sqrt{7}} \]

Trục căn thức ở mẫu:

\[ \cot 2a = \mp \frac{7\sqrt{7}}{3 \cdot 7} \]
\[ \cot 2a = \mp \frac{\sqrt{7}}{3} \]

Vậy, \(\cot 2a\) cũng có hai giá trị: \(-\frac{\sqrt{7}}{3}\) hoặc \(\frac{\sqrt{7}}{3}\).

Tóm lại, các kết quả là:

• \(\sin 2a = -\frac{3}{4}\)
• \(\cos 2a = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}\)
• \(\tan 2a = \mp \frac{3\sqrt{7}}{7}\)
• \(\cot 2a = \mp \frac{\sqrt{7}}{3}\)

(Lưu ý: dấu \(\mp\) trong \(\tan 2a\) và \(\cot 2a\) tương ứng với dấu \(\pm\) của \(\cos 2a\). Cụ thể, nếu \(\cos 2a = \frac{\sqrt{7}}{4}\) thì \(\tan 2a = -\frac{3\sqrt{7}}{7}\) và \(\cot 2a = -\frac{\sqrt{7}}{3}\); nếu \(\cos 2a = -\frac{\sqrt{7}}{4}\) thì \(\tan 2a = \frac{3\sqrt{7}}{7}\) và \(\cot 2a = \frac{\sqrt{7}}{3}\)).

Qua bài toán này, các em đã được củng cố lại cách vận dụng linh hoạt công thức bình phương một tổng, công thức lượng giác cơ bản \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), và các công thức nhân đôi của sin, cos, tan, cot. Hãy luôn nhớ rằng việc hiểu rõ các công thức và biết cách liên kết chúng sẽ giúp chúng ta giải quyết mọi bài toán lượng giác một cách dễ dàng!

Chúc các em học tốt!