Chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập phương trình lượng giác khá hay và quen thuộc. Các em hãy mở Sách giáo khoa Toán 11 trang 178, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục bài tập số 5.

Bài toán yêu cầu chúng ta giải phương trình:
sin2x -cos2x +3sinx -cosx -1 = 0

Đây là một phương trình lượng giác mà chúng ta có thể sử dụng các công thức hạ bậc, công thức cộng hoặc biến đổi để đưa về dạng đơn giản hơn.

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng có thể nhóm các hạng tử tương tự

Chúng ta nhận thấy trong phương trình có các số hạng chứa “2x” và “x”. Mục tiêu của chúng ta là đưa hết về các hàm của “x”.
Chúng ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc cho sin2x và cos2x.
Nhớ lại công thức:
sin2x = 2sinxcosx
cos2x = 1 – 2sin^2x (chúng ta chọn công thức này để có thể liên quan đến sinx)

Thay các công thức này vào phương trình ban đầu:
(2sinxcosx) – (1 – 2sin^2x) + 3sinx – cosx – 1 = 0

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành phá ngoặc và rút gọn:
2sinxcosx – 1 + 2sin^2x + 3sinx – cosx – 1 = 0

Nhóm các hạng tử lại để dễ nhìn hơn:
2sin^2x + 2sinxcosx + 3sinx – cosx – 2 = 0

Bước 2: Tìm cách nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc đưa về dạng đặc biệt

Chúng ta có một số hạng 2sin^2x, một số hạng -1 (tức là -2) và các số hạng còn lại.
Hãy thử nhóm các hạng tử một cách khéo léo.
Chúng ta thấy có 2sin^2x và -2. Nếu nhóm lại thì ta có:
2sin^2x – 2 = 2(sin^2x – 1)
Mà chúng ta biết rằng sin^2x + cos^2x = 1, nên sin^2x – 1 = -cos^2x.
Vậy, 2sin^2x – 2 = -2cos^2x.

Bây giờ, chúng ta thay thế và viết lại phương trình:
-2cos^2x + 2sinxcosx + 3sinx – cosx = 0

Thứ tự lại các hạng tử cho gọn gàng:
2sinxcosx – cosx + 3sinx – 2cos^2x = 0

Bây giờ, chúng ta thử nhóm các hạng tử:
Nhóm hai hạng tử đầu tiên: 2sinxcosx – cosx = cosx(2sinx – 1)
Nhóm hai hạng tử còn lại: 3sinx – 2cos^2x = 3sinx – 2(1 – sin^2x) = 3sinx – 2 + 2sin^2x = 2sin^2x + 3sinx – 2

Phương trình trở thành:
cosx(2sinx – 1) + (2sin^2x + 3sinx – 2) = 0

Chúng ta cần phân tích cái biểu thức trong ngoặc thứ hai: 2sin^2x + 3sinx – 2.
Đây là một tam thức bậc hai theo sinx. Ta có thể đặt t = sinx. Khi đó ta có 2t^2 + 3t – 2.
Ta tìm nghiệm của phương trình 2t^2 + 3t – 2 = 0.
Delta = b^2 – 4ac = 3^2 – 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25.
t1 = (-b + sqrt(Delta))/(2a) = (-3 + 5)/4 = 2/4 = 1/2.
t2 = (-b – sqrt(Delta))/(2a) = (-3 – 5)/4 = -8/4 = -2.

Vì t = sinx, mà -1 <= sinx <= 1, nên t = -2 là loại. Vậy, 2sin^2x + 3sinx - 2 có thể phân tích thành (sinx - 1/2)(2sinx - (-2)) = (sinx - 1/2)(2sinx + 2) = 2(sinx - 1/2)(sinx + 1) = (2sinx - 1)(sinx + 1). Vậy phương trình của chúng ta trở thành: cosx(2sinx - 1) + (2sinx - 1)(sinx + 1) = 0 Bước 3: Đặt nhân tử chung và giải phương trình

Chúng ta thấy có nhân tử chung là (2sinx – 1). Đặt nhân tử chung ra ngoài:
(2sinx – 1) [cosx + (sinx + 1)] = 0

(2sinx – 1) (sinx + cosx + 1) = 0

Bây giờ, chúng ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: 2sinx – 1 = 0
2sinx = 1
sinx = 1/2

Đây là một trường hợp cơ bản. Chúng ta tìm các giá trị của x sao cho sinx = 1/2.
Ta biết sin(pi/6) = 1/2.
Vậy, các nghiệm của trường hợp này là:
x = pi/6 + k2pi
hoặc
x = pi – pi/6 + k2pi = 5pi/6 + k2pi
với k là số nguyên bất kỳ.

Trường hợp 2: sinx + cosx + 1 = 0
sinx + cosx = -1

Đây là dạng phương trình a.sinx + b.cosx = c. Chúng ta có thể đưa về dạng Rsin(x + alpha) = c hoặc Rcos(x – alpha) = c.
Ở đây, a = 1, b = 1. Ta tính R = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2).
Ta chia cả hai vế cho sqrt(2):
(1/sqrt(2))sinx + (1/sqrt(2))cosx = -1/sqrt(2)

Chúng ta biết cos(pi/4) = 1/sqrt(2) và sin(pi/4) = 1/sqrt(2).
Thay vào phương trình:
cos(pi/4)sinx + sin(pi/4)cosx = -1/sqrt(2)

Sử dụng công thức cộng sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB:
sin(x + pi/4) = -1/sqrt(2)

Bây giờ, chúng ta tìm các giá trị của góc (x + pi/4) sao cho sin của nó bằng -1/sqrt(2).
Chúng ta biết sin(-pi/4) = -1/sqrt(2).
Vậy, có hai trường hợp cho góc (x + pi/4):
x + pi/4 = -pi/4 + k2pi
hoặc
x + pi/4 = pi – (-pi/4) + k2pi = pi + pi/4 + k2pi = 5pi/4 + k2pi

Giải cho x trong từng trường hợp:

Trường hợp 2.1: x + pi/4 = -pi/4 + k2pi
x = -pi/4 – pi/4 + k2pi
x = -pi/2 + k2pi

Trường hợp 2.2: x + pi/4 = 5pi/4 + k2pi
x = 5pi/4 – pi/4 + k2pi
x = 4pi/4 + k2pi
x = pi + k2pi

Bước 4: Kết luận tập nghiệm của phương trình

Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm là:
Từ Trường hợp 1:
x = pi/6 + k2pi
x = 5pi/6 + k2pi

Từ Trường hợp 2:
x = -pi/2 + k2pi (chúng ta có thể viết lại thành x = 3pi/2 + k2pi, hoặc xem xét xem có trùng với nghiệm nào khác không. Lưu ý rằng -pi/2 tương đương với 3pi/2 trong vòng tròn lượng giác).
x = pi + k2pi

Các em thân mến, chúng ta đã giải xong bài toán này. Hãy ghi lại cẩn thận các bước giải và tập nghiệm. Chúc các em học tốt!