Chào các em học sinh!
Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về phương trình lượng giác. Đây là dạng bài thường gặp và đòi hỏi các em phải nắm vững các công thức biến đổi cơ bản. Chúng ta hãy cùng phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Lời giải chi tiết:

Chúng ta có phương trình đã cho là:
\[ \sin^4 2x + \cos^4 2x = \sin 2x \cdot \cos 2x \]

Bước 1: Biến đổi vế trái của phương trình.

Ta nhận thấy vế trái có dạng \( a^4 + b^4 \). Chúng ta có thể biến đổi nó dựa trên hằng đẳng thức quen thuộc \( a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab \).
Ở đây, chúng ta đặt \( a = \sin^2 2x \) và \( b = \cos^2 2x \).
Khi đó, vế trái của phương trình có thể viết lại như sau:
\[ \sin^4 2x + \cos^4 2x = (\sin^2 2x)^2 + (\cos^2 2x)^2 \]
Áp dụng hằng đẳng thức trên, ta được:
\[ (\sin^2 2x + \cos^2 2x)^2 – 2 \sin^2 2x \cos^2 2x \]
Theo công thức lượng giác cơ bản, chúng ta biết rằng \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) với mọi góc \( \alpha \).
Ở đây, \( \alpha = 2x \), nên \( \sin^2 2x + \cos^2 2x = 1 \).
Thay giá trị này vào biểu thức, ta có:
\[ 1^2 – 2 \sin^2 2x \cos^2 2x \]
\[ = 1 – 2 (\sin 2x \cos 2x)^2 \]

Bước 2: Thay biểu thức đã biến đổi vào phương trình ban đầu.

Phương trình ban đầu trở thành:
\[ 1 – 2 (\sin 2x \cos 2x)^2 = \sin 2x \cos 2x \]

Bước 3: Đặt ẩn phụ để đơn giản hóa phương trình.

Để giải quyết phương trình này một cách dễ dàng hơn, chúng ta sẽ đặt ẩn phụ.
Đặt \( t = \sin 2x \cos 2x \).
Khi đó, phương trình trở thành một phương trình bậc hai theo \( t \):
\[ 1 – 2t^2 = t \]

Bước 4: Giải phương trình bậc hai theo \( t \).

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế, ta được:
\[ 2t^2 + t – 1 = 0 \]
Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.
Phân tích thành nhân tử:
\[ 2t^2 + 2t – t – 1 = 0 \]
\[ 2t(t+1) – 1(t+1) = 0 \]
\[ (2t-1)(t+1) = 0 \]
Từ đó, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \( 2t – 1 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \)

Trường hợp 2: \( t + 1 = 0 \Rightarrow t = -1 \)

Bước 5: Thay ẩn phụ trở lại và giải các phương trình lượng giác cơ bản.

Chúng ta đã đặt \( t = \sin 2x \cos 2x \).
Nhớ lại công thức nhân đôi của sin: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
Vậy, \( \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} (2 \sin 2x \cos 2x) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2} \sin 4x \).
Vậy, \( t = \frac{1}{2} \sin 4x \).

Bây giờ chúng ta xét từng trường hợp của \( t \):

Trường hợp 1: \( t = \frac{1}{2} \)

Thay \( t = \frac{1}{2} \sin 4x \) vào, ta có:
\[ \frac{1}{2} \sin 4x = \frac{1}{2} \]
\[ \sin 4x = 1 \]
Đây là một phương trình lượng giác cơ bản. Giá trị \( \sin \alpha = 1 \) khi \( \alpha = \frac{\pi}{2} + k2\pi \), với \( k \) là số nguyên.
Vậy, ta có:
\[ 4x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \]
Chia cả hai vế cho 4, ta được:
\[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{k2\pi}{4} \]
\[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \], với \( k \in \mathbb{Z} \) (tập hợp các số nguyên).

Trường hợp 2: \( t = -1 \)

Thay \( t = \frac{1}{2} \sin 4x \) vào, ta có:
\[ \frac{1}{2} \sin 4x = -1 \]
\[ \sin 4x = -2 \]
Chúng ta biết rằng giá trị của hàm số \( \sin \alpha \) luôn nằm trong đoạn \( [-1, 1] \), tức là \( -1 \le \sin \alpha \le 1 \).
Vì \( -2 < -1 \), nên phương trình \( \sin 4x = -2 \) vô nghiệm.

Bước 6: Kết luận tập nghiệm của phương trình.

Kết hợp các trường hợp, ta thấy rằng phương trình đã cho chỉ có nghiệm trong trường hợp 1.

Vậy, tập nghiệm của phương trình là:
\[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \], với \( k \in \mathbb{Z} \).

Các em thấy đấy, việc giải một bài toán lượng giác phức tạp thường bắt đầu bằng việc biến đổi các biểu thức về dạng đơn giản hơn, sử dụng các công thức quen thuộc và có thể đặt ẩn phụ để chuyển về các dạng phương trình đại số đã biết. Hãy luôn cẩn thận với các điều kiện và miền giá trị của các hàm số lượng giác nhé!
Chúc các em học tốt!