Chào em, đây là một bài toán rất hay và quen thuộc trong chương trình Lượng giác lớp 11. Để giải bài này một cách dễ hiểu, thầy sẽ hướng dẫn em từng bước một, sử dụng các công thức đã học trong sách giáo khoa nhé.

Mục tiêu của chúng ta là tính giá trị của biểu thức: \(A = sin6^o sin42^o sin66^o sin78^o\)

Thoạt nhìn, các góc này có vẻ không liên quan, nhưng nếu chúng ta tinh ý một chút, ta có thể biến đổi chúng về dạng có quy luật hơn.

Bước 1: Sử dụng công thức phụ chéo để chuyển sin thành cos

Chúng ta có công thức rất quen thuộc là \(sin\alpha = cos(90^o – \alpha)\). Thầy trò mình sẽ áp dụng công thức này cho các số hạng trong biểu thức nhé.

– \(sin6^o = cos(90^o – 6^o) = cos84^o\)
– \(sin42^o = cos(90^o – 42^o) = cos48^o\)
– \(sin66^o = cos(90^o – 66^o) = cos24^o\)
– \(sin78^o = cos(90^o – 78^o) = cos12^o\)

Bây giờ, thay tất cả vào biểu thức ban đầu, ta được:
\[A = cos84^o cos48^o cos24^o cos12^o\]

Sắp xếp lại các số hạng theo thứ tự góc tăng dần cho dễ nhìn nhé:
\[A = cos12^o cos24^o cos48^o cos84^o\]

Bước 2: Nhận ra quy luật và sử dụng công thức nhân đôi

Em thấy không? Các góc \(12^o, 24^o, 48^o\) có mối liên hệ nhân đôi với nhau. Đây chính là chìa khóa của bài toán!

Ta sẽ sử dụng công thức góc nhân đôi cho sin: \(sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha\). Từ đó suy ra một hệ quả rất quan trọng:
\[sin\alpha cos\alpha = \frac{1}{2}sin2\alpha\]

Để áp dụng được công thức này, chúng ta sẽ nhân cả hai vế của biểu thức A với \(sin12^o\). (Lưu ý rằng \(sin12^o \neq 0\) nên ta có thể nhân và sau đó chia lại được).

Ta có:
\[A \cdot sin12^o = (sin12^o cos12^o) cos24^o cos48^o cos84^o\]

Áp dụng công thức \(sin\alpha cos\alpha = \frac{1}{2}sin2\alpha\) với \(\alpha = 12^o\), ta được:
\[A \cdot sin12^o = (\frac{1}{2}sin24^o) cos24^o cos48^o cos84^o\]
\[A \cdot sin12^o = \frac{1}{2} (sin24^o cos24^o) cos48^o cos84^o\]

Tiếp tục áp dụng công thức với \(\alpha = 24^o\):
\[A \cdot sin12^o = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin48^o) cos48^o cos84^o\]
\[A \cdot sin12^o = \frac{1}{4} (sin48^o cos48^o) cos84^o\]

Và một lần nữa với \(\alpha = 48^o\):
\[A \cdot sin12^o = \frac{1}{4} (\frac{1}{2}sin96^o) cos84^o\]
\[A \cdot sin12^o = \frac{1}{8} sin96^o cos84^o\]

Bước 3: Tiếp tục biến đổi và rút gọn

Đến đây, ta gần xong rồi. Ta cần biến đổi \(sin96^o\) để xem nó có liên quan gì đến các góc còn lại không. Ta dùng công thức liên quan đến góc bù nhau: \(sin(180^o – \alpha) = sin\alpha\).

Ta có: \(sin96^o = sin(180^o – 84^o) = sin84^o\).

Thay vào biểu thức trên:
\[A \cdot sin12^o = \frac{1}{8} sin84^o cos84^o\]

Lại một lần nữa, ta gặp dạng \(sin\alpha cos\alpha\). Áp dụng công thức nhân đôi lần cuối với \(\alpha = 84^o\):
\[A \cdot sin12^o = \frac{1}{8} (\frac{1}{2} sin(2 \cdot 84^o))\]
\[A \cdot sin12^o = \frac{1}{16} sin168^o\]

Cuối cùng, ta biến đổi \(sin168^o\) bằng công thức góc bù:
\[sin168^o = sin(180^o – 12^o) = sin12^o\]

Vậy, phương trình của chúng ta trở thành:
\[A \cdot sin12^o = \frac{1}{16} sin12^o\]

Bước 4: Tìm kết quả cuối cùng

Vì \(sin12^o \neq 0\), ta có thể chia cả hai vế cho \(sin12^o\):
\[A = \frac{1}{16}\]

Kết luận

Vậy giá trị của biểu thức ban đầu là \(\frac{1}{16}\).

Tóm lại, mấu chốt của bài toán là:
1. Chuyển tất cả về cosin bằng công thức phụ chéo.
2. Nhận ra quy luật góc nhân đôi.
3. Nhân thêm một lượng \(sin\) của góc nhỏ nhất để bắt đầu “dây chuyền” áp dụng công thức nhân đôi.
4. Khéo léo sử dụng các công thức biến đổi góc (bù, phụ) để rút gọn.

Chúc em học tốt nhé! Nếu có chỗ nào chưa hiểu, đừng ngần ngại hỏi lại thầy.