Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập thú vị về lượng giác, đó là tính giá trị của biểu thức \(\sin^6x – \cos^6x\). Bài tập này đòi hỏi chúng ta vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và công thức lượng giác đã học.

Chúng ta bắt đầu nhé!

Bài toán yêu cầu tính:
\(\sin^6x – \cos^6x\)

Trước hết, các em hãy quan sát biểu thức này. Chúng ta có thể nhận thấy đây là dạng của hiệu hai lập phương. Các em còn nhớ hằng đẳng thức hiệu hai lập phương là gì không?
Đó là: \(a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)\).

Trong bài toán của chúng ta, chúng ta có thể coi \(a = \sin^2x\) và \(b = \cos^2x\). Khi đó, biểu thức của chúng ta trở thành:
\((\sin^2x)^3 – (\cos^2x)^3\)

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương, ta có:
\((\sin^2x)^3 – (\cos^2x)^3 = (\sin^2x – \cos^2x)((\sin^2x)^2 + \sin^2x \cdot \cos^2x + (\cos^2x)^2)\)

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét từng phần của biểu thức mới này.

Phần thứ nhất: \((\sin^2x – \cos^2x)\)
Chúng ta biết rằng \(\cos(2x) = \cos^2x – \sin^2x\). Vậy, \( \sin^2x – \cos^2x = -(\cos^2x – \sin^2x) = -\cos(2x) \).

Phần thứ hai: \((\sin^2x)^2 + \sin^2x \cdot \cos^2x + (\cos^2x)^2\)
Ta có thể viết lại phần này như sau: \( \sin^4x + \sin^2x \cos^2x + \cos^4x \).

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi phần này một chút. Hãy nhóm \(\sin^4x + \cos^4x\):
\( (\sin^4x + \cos^4x) + \sin^2x \cos^2x \)

Chúng ta có thể tính \(\sin^4x + \cos^4x\) bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Hãy coi \(a = \sin^2x\) và \(b = \cos^2x\).
Ta có: \((\sin^2x + \cos^2x)^2 = (\sin^2x)^2 + 2\sin^2x \cos^2x + (\cos^2x)^2\)
\((\sin^2x + \cos^2x)^2 = \sin^4x + 2\sin^2x \cos^2x + \cos^4x\)

Chúng ta đều biết rằng \(\sin^2x + \cos^2x = 1\).
Vậy: \(1^2 = \sin^4x + 2\sin^2x \cos^2x + \cos^4x\)
\(1 = (\sin^4x + \cos^4x) + 2\sin^2x \cos^2x\)

Từ đây, ta suy ra: \(\sin^4x + \cos^4x = 1 – 2\sin^2x \cos^2x\).

Bây giờ, chúng ta thay kết quả này trở lại phần thứ hai của biểu thức:
\( (\sin^4x + \cos^4x) + \sin^2x \cos^2x = (1 – 2\sin^2x \cos^2x) + \sin^2x \cos^2x \)
\( = 1 – \sin^2x \cos^2x \)

À, chúng ta có thể biến đổi thêm một chút nữa với \(\sin^2x \cos^2x\).
Chúng ta biết công thức nhân đôi cho sin là \( \sin(2x) = 2\sin x \cos x \).
Bình phương hai vế, ta được: \( \sin^2(2x) = (2\sin x \cos x)^2 = 4\sin^2x \cos^2x \).
Vậy, \( \sin^2x \cos^2x = \frac{1}{4}\sin^2(2x) \).

Thay vào biểu thức \(1 – \sin^2x \cos^2x\), ta được:
\( 1 – \frac{1}{4}\sin^2(2x) \)

Bây giờ, chúng ta quay lại biểu thức ban đầu của chúng ta sau khi áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương:
\((\sin^2x – \cos^2x)((\sin^2x)^2 + \sin^2x \cdot \cos^2x + (\cos^2x)^2)\)

Thay thế các phần chúng ta vừa tính được:
\( (-\cos(2x)) \cdot (1 – \sin^2x \cos^2x) \)

Hoặc, nếu chúng ta dùng biểu thức \(1 – \frac{1}{4}\sin^2(2x)\) cho phần thứ hai:
\( (-\cos(2x)) \cdot (1 – \frac{1}{4}\sin^2(2x)) \)

Chúng ta có thể phân phối vào để có một dạng khác:
\( -\cos(2x) + \cos(2x) \sin^2x \cos^2x \)

Tuy nhiên, dạng \( -\cos(2x) (1 – \sin^2x \cos^2x) \) hoặc \( -\cos(2x) (1 – \frac{1}{4}\sin^2(2x)) \) thường được coi là dạng rút gọn nhất.

Một cách khác để làm phần thứ hai: \( \sin^4x + \sin^2x \cos^2x + \cos^4x \).
Chúng ta có thể viết lại là: \( (\sin^2x + \cos^2x)^2 – 2\sin^2x \cos^2x + \sin^2x \cos^2x \)
\( = (\sin^2x + \cos^2x)^2 – \sin^2x \cos^2x \)
Vì \(\sin^2x + \cos^2x = 1\), nên:
\( = 1^2 – \sin^2x \cos^2x \)
\( = 1 – \sin^2x \cos^2x \)
Đây là cách tiếp cận ban nãy, và nó vẫn đúng.

Vậy, kết quả cuối cùng của biểu thức \(\sin^6x – \cos^6x\) là:
\( -\cos(2x) (1 – \sin^2x \cos^2x) \)

Hoặc, nếu chúng ta muốn biểu diễn hoàn toàn theo \(2x\), chúng ta có thể thay \(\sin^2x \cos^2x = \frac{1}{4}\sin^2(2x)\):
\( -\cos(2x) (1 – \frac{1}{4}\sin^2(2x)) \)

Đôi khi, bài toán có thể yêu cầu biến đổi thêm nữa, ví dụ sử dụng công thức hạ bậc cho \(\sin^2(2x)\):
\( \sin^2\alpha = \frac{1 – \cos(2\alpha)}{2} \).
Ở đây, \(\alpha = 2x\), vậy \(2\alpha = 4x\).
\( \sin^2(2x) = \frac{1 – \cos(4x)}{2} \).

Thay vào biểu thức:
\( -\cos(2x) (1 – \frac{1}{4} \cdot \frac{1 – \cos(4x)}{2}) \)
\( = -\cos(2x) (1 – \frac{1 – \cos(4x)}{8}) \)
\( = -\cos(2x) (\frac{8 – (1 – \cos(4x))}{8}) \)
\( = -\cos(2x) (\frac{8 – 1 + \cos(4x)}{8}) \)
\( = -\cos(2x) (\frac{7 + \cos(4x)}{8}) \)
\( = -\frac{1}{8} \cos(2x) (7 + \cos(4x)) \)

Tuy nhiên, dạng \( -\cos(2x) (1 – \sin^2x \cos^2x) \) hoặc \( -\cos(2x) (1 – \frac{1}{4}\sin^2(2x)) \) thường là đủ và phổ biến nhất trong các bài tập.

Chúng ta đã hoàn thành bài tập. Các em có câu hỏi nào không? Điều quan trọng là nhận ra hằng đẳng thức ban đầu và sau đó là biến đổi các biểu thức bên trong. Luôn nhớ các công thức lượng giác cơ bản nhé!