sina+sinb+sinc=4cosa/2 cosb/2 cosc/2

Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về đẳng thức lượng giác rất quen thuộc và thú vị trong chương trình Toán lớp 10.

Nhận định bài toán:

Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh đẳng thức $$\sin a+\sin b+\sin c=4\cos \frac{a}{2}\cos \frac{b}{2}\cos \frac{c}{2}$$.

Trong chương trình Toán lớp 10, các đẳng thức dạng này thường được xét khi $a,b,c$ là ba góc của một tam giác. Nếu không có điều kiện này, đẳng thức trên không luôn đúng. Vì vậy, để chứng minh được đẳng thức này, chúng ta cần giả sử $a,b,c$ là ba góc của một tam giác. Khi đó, ta có $a+b+c=\pi$ (hoặc $180°$).

Chúng ta sẽ biến đổi vế trái (VT) để bằng vế phải (VP).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Giả sử và biến đổi vế trái ban đầu

Ta giả sử $a,b,c$ là ba góc của một tam giác, tức là $a+b+c=\pi$.

Vế trái của đẳng thức là:
$$\mathrm{VT}=\sin a+\sin b+\sin c$$

Giải thích: Chúng ta bắt đầu từ vế trái và sẽ áp dụng các công thức lượng giác để biến đổi nó.

Bước 2: Áp dụng công thức tổng thành tích cho $\sin a+\sin b$

Áp dụng công thức tổng thành tích $\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$, ta có:

$$\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$$

Giải thích: Việc áp dụng công thức tổng thành tích giúp chuyển đổi tổng hai hàm sin thành tích, tạo điều kiện thuận lợi cho việc rút gọn hoặc nhóm nhân tử chung sau này.

Bước 3: Sử dụng điều kiện $a+b+c=\pi$

Vì $a+b+c=\pi$, suy ra $a+b=\pi -c$.
Do đó, $\frac{a+b}{2}=\frac{\pi -c}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{c}{2}$.
Khi đó, $\sin \frac{a+b}{2}=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{c}{2}\right)$.
Theo công thức góc phụ, $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, nên ta có:
$$\sin \frac{a+b}{2}=\cos \frac{c}{2}$$

Giải thích: Sử dụng điều kiện tổng ba góc bằng $\pi$ giúp chúng ta liên kết các góc $a,b$ với góc $c$, từ đó đơn giản hóa biểu thức.

Bước 4: Thay thế và áp dụng công thức nhân đôi cho $\sin c$

Thay kết quả từ Bước 3 vào biểu thức VT:

$$\mathrm{VT}=2\cos \frac{c}{2}\cos \frac{a-b}{2}+\sin c$$
Áp dụng công thức nhân đôi $\sin 2x=2\sin x\cos x$ (hoặc $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$) cho $\sin c$:

$$\sin c=2\sin \frac{c}{2}\cos \frac{c}{2}$$
Vậy,
$$\mathrm{VT}=2\cos \frac{c}{2}\cos \frac{a-b}{2}+2\sin \frac{c}{2}\cos \frac{c}{2}$$

Giải thích: Chuyển $\sin c$ về dạng nửa góc giúp xuất hiện nhân tử chung $\cos \frac{c}{2}$, một bước quan trọng để nhóm các số hạng.

Bước 5: Nhóm nhân tử chung và biến đổi tiếp

Nhóm nhân tử chung $2\cos \frac{c}{2}$ từ biểu thức VT:

$$\mathrm{VT}=2\cos \frac{c}{2}\left(\cos \frac{a-b}{2}+\sin \frac{c}{2}\right)$$
Lại sử dụng điều kiện $a+b+c=\pi$, ta có $\frac{c}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{a+b}{2}$.
Khi đó, $\sin \frac{c}{2}=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{a+b}{2}\right)$.
Theo công thức góc phụ, $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, nên ta có:
$$\sin \frac{c}{2}=\cos \frac{a+b}{2}$$
Thay vào biểu thức trong ngoặc:
$$\mathrm{VT}=2\cos \frac{c}{2}\left(\cos \frac{a-b}{2}+\cos \frac{a+b}{2}\right)$$

Giải thích: Tiếp tục sử dụng điều kiện $a+b+c=\pi$ để biến đổi phần còn lại của biểu thức trong ngoặc về dạng quen thuộc, chuẩn bị cho việc áp dụng công thức tổng thành tích lần nữa.

Bước 6: Áp dụng công thức tổng thành tích cho $\cos x+\cos y$

Áp dụng công thức tổng thành tích $\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$ cho biểu thức trong ngoặc với $x=\frac{a-b}{2}$ và $y=\frac{a+b}{2}$:

$$\cos \frac{a-b}{2}+\cos \frac{a+b}{2}=2\cos \frac{\frac{a-b}{2}+\frac{a+b}{2}}{2}\cos \frac{\frac{a-b}{2}-\frac{a+b}{2}}{2}$$
Tính toán các góc:

Góc thứ nhất: $\frac{\frac{a-b}{2}+\frac{a+b}{2}}{2}=\frac{\frac{a-b+a+b}{2}}{2}=\frac{\frac{2a}{2}}{2}=\frac{a}{2}$

Góc thứ hai: $\frac{\frac{a-b}{2}-\frac{a+b}{2}}{2}=\frac{\frac{a-b-a-b}{2}}{2}=\frac{\frac{-2b}{2}}{2}=-\frac{b}{2}$
Vì hàm $\cos$ là hàm chẵn ($\cos \left(-x\right)=\cos x$), nên $\cos \left(-\frac{b}{2}\right)=\cos \frac{b}{2}$.
Vậy,
$$\cos \frac{a-b}{2}+\cos \frac{a+b}{2}=2\cos \frac{a}{2}\cos \frac{b}{2}$$

Giải thích: Đây là bước cuối cùng của việc biến đổi biểu thức trong ngoặc. Áp dụng công thức tổng thành tích một lần nữa giúp chúng ta đạt được dạng tích của các hàm cos của các nửa góc.

Bước 7: Hoàn thành biến đổi vế trái

Thay kết quả từ Bước 6 vào biểu thức VT ở cuối Bước 5:

$$\mathrm{VT}=2\cos \frac{c}{2}\left(2\cos \frac{a}{2}\cos \frac{b}{2}\right)$$
$$\mathrm{VT}=4\cos \frac{a}{2}\cos \frac{b}{2}\cos \frac{c}{2}$$
Đây chính là vế phải (VP) của đẳng thức cần chứng minh.

Kết luận:

Vậy, ta đã chứng minh được $\mathrm{VT}=\mathrm{VP}$, tức là:
$$\sin a+\sin b+\sin c=4\cos \frac{a}{2}\cos \frac{b}{2}\cos \frac{c}{2}$$
Đẳng thức này đúng khi $a,b,c$ là ba góc của một tam giác.